La droite (AB) est tangente à la courbe de f au point d'abscisse 4.
On doit le prouver.
Les points A et B permettent de trouver l'équation de la droite (AB).
Quand x progresse de 6, y progresse de 9. Le coefficient directeur de (AB) est égal à 9/6 = 1,5.
Pour un recul de 2, y diminue de 3. En l'appliquant aux coordonnées de B, on obtient abscisse 0 et ordonnée 12.
(AB) a pour équation y = 1,5 x + 12.
Pour x = 4, y = 6 + 12 = 18.
De même avec y = 6√4 + 6 = 12 + 6 = 18.
Le point de f d'abscisse 4 appartient aussi à (AB).
Pour que (AB) soit tangente à la courbe de f, il faut encore que le nombre dérivé de f en 4 soit égal au coefficient directeur de (AB), 1,5.
f'(4) = 6 (1/(2√4)) = 3/2 = 1,5
Les pentes de la droite et de la courbe de f sont identiques pour une abscisse égale à 4. Ceci ajouté à l'existence du point commun de même abscisse nous amène à la preuve de la tangence de (AB) au point d'abscisse 4 à la courbe de f.
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Réponse :
La droite (AB) est tangente à la courbe de f au point d'abscisse 4.
On doit le prouver.
Les points A et B permettent de trouver l'équation de la droite (AB).
Quand x progresse de 6, y progresse de 9. Le coefficient directeur de (AB) est égal à 9/6 = 1,5.
Pour un recul de 2, y diminue de 3. En l'appliquant aux coordonnées de B, on obtient abscisse 0 et ordonnée 12.
(AB) a pour équation y = 1,5 x + 12.
Pour x = 4, y = 6 + 12 = 18.
De même avec y = 6√4 + 6 = 12 + 6 = 18.
Le point de f d'abscisse 4 appartient aussi à (AB).
Pour que (AB) soit tangente à la courbe de f, il faut encore que le nombre dérivé de f en 4 soit égal au coefficient directeur de (AB), 1,5.
f'(4) = 6 (1/(2√4)) = 3/2 = 1,5
Les pentes de la droite et de la courbe de f sont identiques pour une abscisse égale à 4. Ceci ajouté à l'existence du point commun de même abscisse nous amène à la preuve de la tangence de (AB) au point d'abscisse 4 à la courbe de f.