Bonjour On considère les fonctions f et g définies par : f(x) = x² + 3x + 2 g(x) = x + 2 / x - 1, de courbes représentatives Cf et Cg.1) Donner la forme canonique puis la forme factorisée de f.
2) Montrer que : f(x) - g(x) = ( x + 2)( x -√2 )( x + √2 ) / ( x - 1 ).
3) A l'aide d'un tableau de signes, étudier le signe de la différence f(x) - g(x).
4) Quelle conclusion peut-on tirer quant à la position des courbes Cf et Cg, selon les
valeurs de x.
2) Montrer que : f(x) - g(x) = ( x + 2)( x -√2 )( x + √2 ) / ( x - 1 ).
3) A l'aide d'un tableau de signes, étudier le signe de la différence f(x) - g(x).
4) Quelle conclusion peut-on tirer quant à la position des courbes Cf et Cg, selon les
valeurs de x.
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1) Déterminons la forme canonique de f.
a) f(x) = x²+3x+2 = (x+3/2)² - 1/4
b) factorisons f.
f(x) = (x+3/2)² - 1/4
f(x) = [(x+3/2) + 1/2][(x+3/2) - 1/2]
f(x) = [x+3/2 + 1/2)(x+3/2 - 1/2)
f(x) = (x+2)(x+1)
2) Montrons que f(x)-g(x) = (x+2)(x-√2)(x +√2) / (x-1)
f(x) = (x+2)(x+1) et g(x) = (x+2) / (x-1)
f(x)-g(x) = (x+2)(x+1)(x-1) - (x+2) / (x-1) = (x+2)(x²-2) / x-1)
Sachant que: x² - 2 = (x +√2)(x -√2),
alors f(x)-g(x) = (x+2)(x + √2)(x - √2) / (x-1)
3) étudions le signe de la différence f(x)-g(x)
Posons
x+2 = 0 x² - 2 = 0 x-1 = 0
x = -2 x² = 2 x = 1
x = -√2 ou x = √2
x I -oo -2 -√2 1 √2 +oo
x+2 I - I + I + II + I +
x² - 2 I + I + I - II - I +
x-1 I - I - I - II + I +
Q I + I - I + II - I +
On a donc:
f ≥ g sur ]-oo;-2]; f ≤ g sur [-2;-V2]; f ≥ g sur [-V2;1]; f ≤ g sur [1;V2] et, f ≥ g sur [V2;+oo[
4) En conclusion nous constatons que:
sur, ]-oo;-2]U[-V2;1]U[V2;+oo[ la courbe Cf est en dessus de la courbe Cg.
sur, [-2;-V2]U[1;V2] la courbe Cf est en dessous de la courbe Cg.