Caso você não tivesse conhecimento da fatoração de uma diferença de quadrados, não tem problema. Não necessariamente você precisa multiplicar a equação pelo mmc, é somente o jeito que te dará a resposta mais simplificada. Você poderia multiplicar a equação por [tex](x^2-1)(x+1)[/tex]
Temos um produto que resulta em 0. Isso só é possível se algum dos fatores for nulo. Logo:
[tex]x=0[/tex]
[tex]x+1=0\;\;\Rightarrow\;\;x=-1[/tex]
Devemos tomar muito cuidado agora, poderiamos de modo precipitado dizer que as resposta são x=0 e x=-1, porém temos termos com x nos denominadores da equação original, e devemos nos certificar de que nenhuma das possíveis respostas anule os denominadores originais
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Comecemos multiplicando ambos os lados da equação pelo mínimo múltiplo comum aos denominadores.
Sabemos que:
[tex]a^2-b^2=(a+b)(a-b)\;\;\Rightarrow\;\; x^2-1=(x+1)(x-1)[/tex]
Portanto:
[tex]\frac{2}{x^2-1}+\frac{1}{x+1}=\frac{2}{(x+1)(x-1)}+\frac{1}{x+1}[/tex]
Logo, o mmc é [tex](x+1)(x-1)=x^2-1[/tex]
[tex]\frac{2}{x^2-1}+\frac{1}{x+1}=-1\\\\(x^2-1)(\frac{2}{x^2-1}+\frac{1}{x+1})=-1(x^2-1)\\\\\frac{2(x^2-1)}{x^2-1}+\frac{x^2-1}{x+1}=1-x^2\\\\2+\frac{(x+1)(x-1)}{x+1}=1-x^2\\\\2+x-1=1-x^2\\\\x^2+x=0\\\\x(x+1)=0[/tex]
Temos um produto que resulta em 0. Isso só é possível se algum dos fatores for nulo. Logo:
Devemos tomar muito cuidado agora, poderiamos de modo precipitado dizer que as resposta são x=0 e x=-1, porém temos termos com x nos denominadores da equação original, e devemos nos certificar de que nenhuma das possíveis respostas anule os denominadores originais
Para x = 0
[tex]\frac{2}{x^2-1}+\frac{1}{x+1}=-1\\\\\frac{2}{0-1}+\frac{1}{0+1}=-1\\\\-2+1=-1\\\\-1=-1[/tex]
Para x = -1
[tex]\frac{2}{x^2-1}+\frac{1}{x+1}=-1\\\\\frac{2}{(-1)^2-1}+\frac{1}{-1+1}=-1[/tex]
Impossível. Perceba que ambos os denominadores se anulam.
Portanto, a resposta final é x = 0 ou S = {0}