De acordo com os cálculos e com os dados do enunciado, podemos afirma que :  

[tex]\large \displaystyle \text { $ \mathsf{ \lim_{x \to 2} \:\dfrac{x^3 +3x^{2} +2x}{x +2} = 6 } $ }[/tex]

O limite da função [tex]\boldsymbol{ \textstyle \sf f(x) }[/tex], quando [tex]\boldsymbol{ \textstyle \sf x }[/tex] tende a [tex]\boldsymbol{ \textstyle \sf a }[/tex], é o número real [tex]\boldsymbol{ \textstyle \sf L }[/tex], se e somente, os números reais da imagem [tex]\boldsymbol{ \textstyle \sf f(x) }[/tex] permanecem próximos de [tex]\boldsymbol{ \textstyle \sf L }[/tex], para infinitos valores de [tex]\boldsymbol{ \textstyle \sf x }[/tex].

  [tex]\Large \boxed{ \displaystyle \text { $ \mathsf{ \lim_{x \to a} f(x) = L } $ } }[/tex]

É importante observarmos a definição sobre o valor da função quando [tex]\boldsymbol{ \textstyle \sf x = a }[/tex], isto é, não é necessário que a função esteja definida em [tex]\boldsymbol{ \textstyle \sf a }[/tex].

Dados fornecidos pelo enunciado:

[tex]\large \displaystyle \text { $ \mathsf{ \lim_{x \to 2} \:\dfrac{x^3 +3x^{2} +2x}{x +2} } $ }[/tex]

Aplicando a definição de limite, temos.

[tex]\large \displaystyle \text { $ \mathsf{ \lim_{x \to 2} \:\dfrac{x^3 +3x^{2} +2x}{x +2} } $ }[/tex]

Vale ressaltar que não está definida para [tex]\boldsymbol{ \textstyle \sf x = - 2 }[/tex], ou seja, não continua em  [tex]\boldsymbol{ \textstyle \sf x = - 2 }[/tex].

[tex]\large \displaystyle \text { $ \mathsf{ \lim_{x \to 2} \:\dfrac{x^3 +3x^{2} +2x}{x +2} = \dfrac{2^3 +3 \cdot 2^2 +2 \cdot 2}{2 + 2} } $ }[/tex]

[tex]\large \displaystyle \text { $ \mathsf{ \lim_{x \to 2} \:\dfrac{x^3 +3x^{2} +2x}{x +2} = \dfrac{8+3 \cdot 4 + 4 }{4} } $ }[/tex]

[tex]\large \displaystyle \text { $ \mathsf{ \lim_{x \to 2} \:\dfrac{x^3 +3x^{2} +2x}{x +2} = \dfrac{8+ 12 + 4 }{4} } $ }[/tex]

[tex]\large \displaystyle \text { $ \mathsf{ \lim_{x \to 2} \:\dfrac{x^3 +3x^{2} +2x}{x +2} = \dfrac{ 20 + 4 }{4} } $ }[/tex]

[tex]\large \displaystyle \text { $ \mathsf{ \lim_{x \to 2} \:\dfrac{x^3 +3x^{2} +2x}{x +2} = \dfrac{ 24 }{4} } $ }[/tex]

[tex]\large \boldsymbol{ \displaystyle \sf \lim_{x \to 2} \:\dfrac{x^3 +3x^{2} +2x}{x +2} = 6 }[/tex]

Para mais conhecimento acesse:

https://brainly.com.br/tarefa/51723264

https://brainly.com.br/tarefa/21913018

https://brainly.com.br/tarefa/32413367

[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\sf\lim_{x\to2}\frac{x^3+3x^2+2x}{x+2}=\frac{2^3+3\cdot2^2+2\cdot2}{2+2}\end{gathered}$}[/tex]

[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \sf{\lim_{x\to2}=\frac{x^3+3x^2+2x}{x+2}=\frac{2\cdot2(2+3+1)}{4} } \end{gathered}$}[/tex]

[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \sf{\lim_{x\to2} \frac{x^3+3x^2+2x}{x+2}=\frac{2\cdot2\cdot6}{4}} \end{gathered}$}[/tex]

[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \sf{\lim_{x\to2}\frac{x^3+3x^2+2x }{x+2}=\frac{24}{4}} \end{gathered}$}[/tex]

[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \boxed{\boxed{\sf{\lim_{x\to2}\frac{x^3+3x^2+2x}{x+2}=6}} } \end{gathered}$}[/tex]