Pelos cálculos realizados, concluímos que o resultado desta integral é:

[tex]\boxed{\bf \frac{x {}^{2} }{2} + \ln( |x| ) - \frac{2}{x} + 3\ln( |x + 2| ) - 4 \ln( |x + 1| )C, \: C\in\mathbb{R}}[/tex]

Explicação

Temos a seguinte integral:

[tex] \int \frac{x {}^{5} + 3x {}^{4} + 2x {}^{3} + 8x + 4 }{x {}^{4} + 3x {}^{3} + 2x {}^{2} } \: dx \\ [/tex]

O objetivo é determinarmos o valor.

• Fatoração:

Para deixar o cálculo mais simples, vamos realizar a divisão polinomial destas funções acima.

[tex]\begin{array}{c|c} x {}^{5} + 3x {}^{4} + 2x {}^{3} + 8x + 4 &x {}^{4} + 3x {}^{3} + 2x {}^{2} \\ \underline{- x {}^{5} - 3x {}^{4} - 2x {}^{3}} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: &(x)\\ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: (8x + 4)&\end{array} \: [/tex]

Como o expoente do divisor é menor que o do dividendo, não temos como prosseguir esta divisão.

Uma forma de dispor esta expressão do integrando de uma forma fatorada, é utilizar os dados desta divisão acima, é:

[tex] \: \: \: \: \: \:\:\:\boxed{\bf \bullet \: \: \: \: \:\:\: \frac{P(x) }{Q(x) } = { R(x)} + \frac{{A(x)}}{ B(x)}} \\ [/tex]

• Onde: R(x) é o resto, A(x) o quociente e B(x) o dividendo.

Substituindo os dados obtidos:

[tex] \frac{x {}^{5} + 3x {}^{4} +2x {}^{3} + 8x + 4 }{x {}^{4} + 3x {}^{3} + 2x {}^{2} } = x + \frac{8x + 4}{x {}^{4} + 3x {}^{3} + 2x {}^{2} } \\ [/tex]

Certamente esta nova expressão é muito mais simples de se resolver. Portanto:

[tex] \: \: \: \: \: \: \int x + \frac{8x + 4}{x {}^{4} + 3x {}^{3} + 2x {}^{2} } \: dx \\ [/tex]

De acordo com uma propriedade, a integral da soma é igual a soma das integrais.[tex] \boxed{ \int f(x) \pm g(x) \: dx = \int f(x)dx \pm \int g(x) dx} \\ [/tex].

[tex] \int x \: dx+ \int \frac{8x + 4}{x {}^{4} + 3x {}^{3} + 2x {}^{2} } \: dx \\ [/tex]

Esta primeira integral é bem simples de se resolver, já que é basicamente a aplicação da regra da potência para integrais.

• Esta regra mencionada é dada por [tex] \boxed{\bf\int x^ndx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C,\:C\in \mathbb{R}}\\[/tex].

[tex] \frac{x {}^{1 + 1} }{1 + 1} + \int \frac{8x + 4}{x {}^{4} + 3x {}^{3} + 2x {}^{2} } \: dx \\ \\ \frac{x {}^{2} }{2} + \int \frac{8x + 4}{x {}^{4} + 3x {}^{3} + 2x {}^{2} } \: dx [/tex]

Para esta segunda integral, devemos ter uma maior atenção na resolução.

• Decomposição em frações parciais:

Quando o denominador pode ser fatorado, podemos fazer uma pequena suposição para decompor uma fração. Portanto vamos ver se o nosso denominador pode ser fatorado.

[tex] \frac{x {}^{2} }{2} + \int \frac{8x + 4}{x {}^{4} + (2 + 1)x {}^{3} + 2x {}^{2} } \: dx \\ \\ \frac{x {}^{2} }{2} + \int \frac{8x + 4}{x {}^{4} + 2x {}^{3} + x {}^{3} + 2x {}^{2} } \: dx \\ \\ \frac{x {}^{2} }{2} + \int \frac{8x + 4}{x {}^{3}.(x + 1) + 2 {x}^{2} (x + 1) } \: dx \\ \\ \frac{x {}^{2} }{2} + \int \frac{8x + 4}{( x+ 1).x {}^{2} .(x + 2) } \: dx \: [/tex]

Como o denominador foi decomposto em dois fatores lineares distintos e um fator igual, a decomposição será dada da seguinte forma:

[tex] \boxed{ \frac{P(x)}{(x + \alpha ).(x + \beta ).(x - 0) {}^{2} } = \frac{A}{(x + \alpha )} + \frac{B}{(x + \beta )} + \frac{ C}{x} + \frac{D}{x {}^{2} }} \\ [/tex]

Aplicando esta lógica com os nossos dados:

[tex]\frac{8x + 4 }{x {}^{2} (x + 2).(x + 1) } = \frac{A}{x} + \frac{B}{x {}^{2} } + \frac{ C}{(x + 2)} + \frac{D}{(x +1 )} \\ \\ \frac{8x + 4 }{x {}^{2} (x + 2).(x + 1) } = \frac{ A(x .(x + 1).(x + 2)) + B(x + 1).(x + 2) + C(x {}^{2}(x + 1)) + D(x {}^{2} .(x + 2)) }{x {}^{2}(x + 2).(x + 1) } \\ \\ \frac{8x + 4 }{ \cancel{x {}^{2} (x + 2).(x + 1)} } = \frac{Ax {}^{3} + 3Ax {}^{2} + 2Ax + Bx {}^{2} + 3Bx + 2B + Cx {}^{3} + Cx {}^{2} + Dx {}^{3} + 2Dx {}^{2} }{ \cancel{x {}^{2}(x + 2).(x + 1)} } \\ \\ 0x {}^{3} + 0x {}^{2} + 8x + 4 = Ax {}^{3} + 3Ax {}^{2} + 2Ax + Bx {}^{2} + 3Bx + 2B + Cx {}^{3} + Cx {}^{2} + Dx {}^{3} + 2Dx {}^{2} \\ \\ \begin{cases}A + C + D = 0 \\3A + B + C +2 D = 0 \\2A +3 B = 8 \\ 2B = 4\end{cases}[/tex]

Resolvendo este sistema de equações, obtemos que cada variável destas é igual a:

[tex] \: \: \: \: \: \: \: \: \: \begin{cases}A = 1 \\ B = 2 \end{cases} \: \: \: \: \: \: \: \: \begin{cases} C = 3 \\ D = -4\end{cases} [/tex]

Portanto temos que a fração pode ser reescrita como:

[tex] \frac{8x + 4}{x {}^{4} + 3x {}^{3} + 2x {}^{2} } = \frac{1}{x } + \frac{2}{x {}^{2} } + \frac{3}{x + 2} - \frac{4}{x + 1} \\ [/tex]

Da mesma forma podemos escrever esta nova expressão na integral e resolver.

[tex] \frac{{x}^{2} }{2} + \int \frac{1}{x} + \frac{2}{x {}^{2} } + \frac{3}{x + 2} - \frac{4}{x + 2} \: dx \\ \\ \frac{x {}^{2} }{2} + \int \frac{1}{x} \: dx + \int \frac{2}{x {}^{2} } \: dx + \int\frac{3}{x + 2} \: dx - \int \frac{4}{x + 2} \: dx \\ \\ \boxed{ \frac{x {}^{2} }{2} + \ln( |x| ) - \frac{2}{x} + 3\ln( |x + 2| ) - 4 \ln( |x + 1| )C, \: C\in\mathbb{R}}[/tex]

Espero ter ajudado.

Leia mais sobre em:

https://brainly.com.br/tarefa/5658712

https://brainly.com.br/tarefa/33319917