Resposta:

A) Para determinar os pares ordenados da relação em R, precisamos verificar quais elementos de M x N atendem à condição dada em R, ou seja, que a coordenada y é igual a x² - 1.

Os elementos de M x N são todos os pares ordenados possíveis formados pelos elementos de M e N. Vamos verificar para cada um deles se atende à condição:

(-2,-1): -1 ≠ (-2)² - 1 (não atende à condição de R)

(-2,0): 0 ≠ (-2)² - 1 (não atende à condição de R)

(-2,2): 2 = (-2)² - 1 (atende à condição de R)

(-2,3): 3 ≠ (-2)² - 1 (não atende à condição de R)

(-2,5): 5 ≠ (-2)² - 1 (não atende à condição de R)

(-1,-1): -1 ≠ (-1)² - 1 (não atende à condição de R)

(-1,0): 0 ≠ (-1)² - 1 (não atende à condição de R)

(-1,2): 2 ≠ (-1)² - 1 (não atende à condição de R)

(-1,3): 3 ≠ (-1)² - 1 (não atende à condição de R)

(-1,5): 5 ≠ (-1)² - 1 (não atende à condição de R)

(0,-1): -1 ≠ 0² - 1 (não atende à condição de R)

(0,0): 0 ≠ 0² - 1 (não atende à condição de R)

(0,2): 2 ≠ 0² - 1 (não atende à condição de R)

(0,3): 3 ≠ 0² - 1 (não atende à condição de R)

(0,5): 5 ≠ 0² - 1 (não atende à condição de R)

(1,-1): -1 ≠ 1² - 1 (não atende à condição de R)

(1,0): 0 = 1² - 1 (atende à condição de R)

(1,2): 2 ≠ 1² - 1 (não atende à condição de R)

(1,3): 3 ≠ 1² - 1 (não atende à condição de R)

(1,5): 5 ≠ 1² - 1 (não atende à condição de R)

(2,-1): -1 ≠ 2² - 1 (não atende à condição de R)

(2,0): 0 ≠ 2² - 1 (não atende à condição de R)

(2,2): 2 ≠ 2² - 1 (não atende à condição de R)

(2,3): 3 = 2² - 1 (atende à condição de R)

(2,5): 5 ≠ 2² - 1 (não atende à condição de R)

(3,-1): -1 ≠ 3² - 1 (não atende à condição de R)

(3,0): 0 ≠ 3² - 1 (não atende à condição de R)

(3,2): 2 ≠ 3² - 1 (não atende à condição de R)

(3,3): 3 ≠ 3² - 1 (não atende à condição de R)

(3,5): 5 ≠ 3² - 1 (não atende à condição de R)

Portanto, a relação R possui os seguintes pares ordenados: { (-2,2), (1,0), (2,3) }.

B) O conjunto domínio da relação R é o conjunto M, pois todos os elementos de M aparecem como primeiro elemento dos pares ordenados da relação. O conjunto imagem da relação R é o conjunto { -1, 0, 3 }, pois são os únicos valores de y que aparecem nos pares ordenados da relação.

C) O diagrama de flechas é uma representação gráfica da relação R, em que os elementos do conjunto domínio aparecem à esquerda, os elementos do conjunto imagem aparecem à direita, e as flechas ligam os elementos que estão relacionados.

```

-2 -1 0 1 2 3

↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑

R = { -1 0 2 3 }

↑ ↑ ↑

| | |

v v v

N = {-1,0,2,3,5} {-1,0,3}

```

D) O gráfico cartesiano representa a relação R no plano cartesiano, em que cada par ordenado (x, y) da relação é representado por um ponto no plano, com sua coordenada x no eixo horizontal e sua coordenada y no eixo vertical. Como a relação R possui elementos negativos, iremos representar apenas os elementos da relação que pertencem aos quadrantes ímpares (Q1, Q3, Q5 e Q7).

```

|

5 | ●

|

4 | Não há o o

| (2,3) (-2,2) (1,0)

3 | o

|

2 | o

| Não há (3,-1)

1 | Não há

|------------------------------

-2 -1 0 1 2 3 4 5

```