Réponse :

EXERCICE 4:

Soit (zn) la suite définie par: Zo = 1-i et pour n E IN, Zn+1 = 1/Zn

(a) Déterminer la forme algébrique de Z₁, Z2 et Z3

Z1 = 1/Z0 = 1/(1-i) = (1+i)/(1-i)(1+i) = (1 + i)/2 = 1/2 + (1/2)i

Z2 = 1/Z1 = 1/(1/2 + i(1/2)) = (1/2 - i(1/2))/(1/2 + i(1/2))(1/2 - i(1/2))

      = (1/2 - i(1/2))/(1/4 + 1/4)

      =  (1/2 - i(1/2))/1/2

       = 2(1/2 - i(1/2))

       = 1 - i

Z3 = Z1 =  1/2 + i(1/2)

Z2 = Z0

   z3 = z1  et  z2 = z0 ;  donc z1 - z0 = z3 - z2 = - 1/2 + i(3/2)

   (zn) est une suite arithmétique  de raison  r = - 1/2 + i(3/2)

              zn = z0 + rn  soit  zn = (1 - i) + (-1/2 + i(3/2))n    

(c) Démontrer par récurrence votre conjecture.

on note  P(n) :  zn = (1 - i) + (-1/2 + i(3/2))n    

initialisation :  pour n = 0 ⇒ z0 = 1 - i + i(3/2)*0 = 1 - i   donc  P(0) est vraie

hérédité :  soit un entier n ≥ 0; supposons que P(n) est vraie et montrons que P(n+1) est vraie

H.R :   zn = (1 - i) + (-1/2 + i(3/2))n  ⇔ 1/zn = 1/((1 - i) + (-1/2 + i(3/2))n = zn+1

donc P(n+1) est vraie

conclusion :  pour tout entier naturel n  on a;  zn = (1 - i) + (-1/2 + i(3/2))n          

Bonsoir, besoin d'aide pour la b principalement merci d'avance

Explications étape par étape :