1) Uma das técnicas utilizadas na Pesquisa Operacional para auxiliar nos processos de tomada de decisão nas mais diversas situações é a (justificar a alternativa escolhida):
a) Estatística
b) Probabilidade
c) Otimização de problemas
d) Programação linear
e) Construção do modelo
2) Quando utilizamos a frase “... feita a partir de modelos matemáticos para representar problemas e deve ser baseado no escopo do problema que precisa ser resolvido para que a solução seja de qualidade.”, estamos no referindo a:
a) Definição do problema
b) Construção do modelo
c) Solução do modelo
d) Validação do modelo
e) Implementação da solução
3) Uma empresa alimentícia produz dois tipos de barra de cereal: Saborosa e Deliciosa. Para a produção das barras são utilizadas cereais e chocolate. Para a produção de uma caixa com 5 kg de barra de cereal Saborosa são utilizados 4 kg de cereais e 1 kg de chocolate, e para a Deliciosa são utilizados 3 kg de chocolate e 2 kg de cereais. A caixa da Saborosa custa R$ 20,00 e a caixa da Deliciosa custa R$ 30,00. O quilograma de chocolate custa R$ 4,00 e o quilograma de cereais custa R$ 1,00. Estão disponíveis por mês 12.000 kg de chocolate e 21.000 kg de cereais. Deseja-se saber qual a quantidade de caixas de cada barra de cereal deve ser produzida para maximizar o lucro.
a) Determine de modo claro as variáveis que estão envolvidas no problema.
b) Redija a função objetivo e escreva as equações de restrição que
fazem parte do problema.
c) Utilize o método gráfico para resolver o problema, e faça hachuras na região viável para o problema
d) Determine a quantidade de caixas de cada barra de cereal que é necessário produzir para obter um lucro máximo e qual é esse lucro máximo.
a) Estatística
b) Probabilidade
c) Otimização de problemas
d) Programação linear
e) Construção do modelo
2) Quando utilizamos a frase “... feita a partir de modelos matemáticos para representar problemas e deve ser baseado no escopo do problema que precisa ser resolvido para que a solução seja de qualidade.”, estamos no referindo a:
a) Definição do problema
b) Construção do modelo
c) Solução do modelo
d) Validação do modelo
e) Implementação da solução
3) Uma empresa alimentícia produz dois tipos de barra de cereal: Saborosa e Deliciosa. Para a produção das barras são utilizadas cereais e chocolate. Para a produção de uma caixa com 5 kg de barra de cereal Saborosa são utilizados 4 kg de cereais e 1 kg de chocolate, e para a Deliciosa são utilizados 3 kg de chocolate e 2 kg de cereais. A caixa da Saborosa custa R$ 20,00 e a caixa da Deliciosa custa R$ 30,00. O quilograma de chocolate custa R$ 4,00 e o quilograma de cereais custa R$ 1,00. Estão disponíveis por mês 12.000 kg de chocolate e 21.000 kg de cereais. Deseja-se saber qual a quantidade de caixas de cada barra de cereal deve ser produzida para maximizar o lucro.
a) Determine de modo claro as variáveis que estão envolvidas no problema.
b) Redija a função objetivo e escreva as equações de restrição que
fazem parte do problema.
c) Utilize o método gráfico para resolver o problema, e faça hachuras na região viável para o problema
d) Determine a quantidade de caixas de cada barra de cereal que é necessário produzir para obter um lucro máximo e qual é esse lucro máximo.
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Resposta:3) A) Variáveis:
Saborosa (S); Deliciosa (D)
B) Função Objetiva:
MAX L = 12S + 16D
Restrições:
Chocolate | Cereais
1S + 3D ≤ 12.000 4S + 2D ≤ 21.000
Não Negatividade
S ≥ 0 e D ≥ 0 ou S , D ≥ 0
C)
D) 3.900 caixas de Saborosa; 2.700 caixas de Deliciosa
Lucros Máximo de R$ 90.000 reais
Explicação passo a passo:1. Resposta
d) Programação linear; Programação linear é uma das metodologias mais populares para solução de problemas de Pesquisa Operacional, a simples modelagem envolvida e a possibilidade de se obter soluções programáveis em computação contribuem para sua aplicação constante e intensa. Essa modelagem matemática é estruturada para resolver problemas que apresentam variáveis que são mensuráveis, ou seja, valores que podem ser expressos por meio de equações e inequações lineares. Os problemas são de ordem científica ou social, e são muito utilizadas em áreas de produção, controle de estoque, financeiro etc.
2.
b) Construção do modelo; A formulação de um problema passa por várias tentativas, idas e vindas, na qual as pesquisas devem estabelecer em termos matemáticos tudo o que foi verbalizado. Consequentemente, teremos então os modelos matemáticos como forma de representação;
Formulação do modelo matemático: Quando o problema é formulado, procuramos um modelo que o represente e que, ao mesmo tempo, contribua para a solução. O modelo deve ser uma representação abstrata da realidade que permita uma análise eficiente das opções que resolvem o problema.
3.
Preço 1 kg Cereais → R$ 1,00 | Preço 1 kg Chocolate → R$ 4,00
Variáveis:
Saborosa (S)
Receita: 4 kg de Cereais + 1 kg de Chocolate
Preço de venda: R$ 20,000
Lucro Saborosa (S’) → S’=20 - (4.1 + 1.4) → S’=20 - (4 + 4) → S’=20 – 8 → S’=12
Deliciosa (D)
Receita: 2 kg de Cereais + 3 kg de Chocolate
Preço de venda: R$ 30,000
Lucro Deliciosa (D’) → S’=30 - (2.1 + 3.4) → S’=30 - (2 + 12) → S’=30 – 14 → D’=16
Lucro Total (L) = 12S + 16D
Função Objetiva:
MAX L = 12S + 16D
Restrições:
Chocolate | Cereais
1S + 3D ≤ 12.000 4S + 2D ≤ 21.000
Não Negatividade
S ≥ 0 e D ≥ 0 ou S , D ≥ 0
Vamos criar um sistema cartesiano onde o eixo das abcissas será a variável (S) e o eixo das ordenadas será a variável (D).
Plano Cartesiano Chocolate
S D
0 4000
12000 0
1S + 3D ≤ 12.000 → 1.0 + 3D ≤ 12.000 → 3D ≤ 12.000 → D ≤ →D ≤ 4.000
1S + 3D ≤ 12.000 → 1S + 3.0 ≤ 12.000 → 1S ≤ 12.000 → S ≤ 12.000
Grafico
Plano Cartesiano Cereais
S D
0 10500
5250 0
4S + 2D ≤ 21.000 → 4.0 + 2D ≤ 21.000 → 2D ≤ 21.000 → D ≤ →D ≤ 10.500
4S + 2D ≤ 21.000 → 4S + 2.0 ≤ 21.000 → 4S ≤ 21.000 → S ≤ →S ≤ 5.250
Grafico
Plano Cartesiano Chocolate/Cereais
Grafico
Resta Maximizar o Lucro
Maximizar L = 12S + 16D (este é o objetivo)
16D = -12S + L → D = +
Quando D é isolado vira uma equação do primeiro grau y = aX + b
O Coeficiente angular dessa equação é (negativo), então o gráfico tem uma reta decrescente.
Neste caso iremos fazer uma análise gráfica dos limites do lucro dentro das restrições com retas paralelas (mesmo coeficiente angular) de valores variados da receita.
Grafico
Ampliando o gráfico no ponto de interseção da reta paralela com os limites do gráfico restrito obtemos que S = 3900 e D = 2700
Agora basta substituir os valores na equação do lucro máximo.
MAX L = 12(3.900) + 16(2.700) → MAX L = 46.800 + 43.200 → MAX L = 90.000
A) Variáveis:
Saborosa (S); Deliciosa (D)
B) Função Objetiva:
MAX L = 12S + 16D
Restrições:
Chocolate | Cereais
1S + 3D ≤ 12.000 4S + 2D ≤ 21.000
Não Negatividade
S ≥ 0 e D ≥ 0 ou S , D ≥ 0
C)
D) 3.900 caixas de Saborosa; 2.700 caixas de Deliciosa
Lucros Máximo de R$ 90.000 reais