Resposta:

a) Para encontrar a demanda no mês 3, basta substituir x por 3 na expressão:

P(3) = 3(3)² + 2(3) + 5

P(3) = 3(9) + 6 + 5

P(3) = 27 + 6 + 5

P(3) = 38

Portanto, a demanda por esse produto no mês 3 é de 38 mil unidades.

b) Para encontrar o mês em que a demanda desse produto é igual a 61 mil unidades, basta igualar a expressão à demanda desejada e resolver a equação:

3x² + 2x + 5 = 61

3x² + 2x - 56 = 0

Podemos resolver essa equação por fatoração ou utilizando a fórmula de Bhaskara. Vamos utilizar a fórmula de Bhaskara:

x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a

Nesse caso, a = 3, b = 2 e c = -56. Substituindo esses valores na fórmula:

x = (-2 ± √(2² - 4(3)(-56))) / (2*3)

x = (-2 ± √(4 + 672)) / 6

x = (-2 ± √676) / 6

x = (-2 ± 26) / 6

Agora, temos duas soluções possíveis:

x₁ = (-2 + 26) / 6

x₁ = 24 / 6

x₁ = 4

x₂ = (-2 - 26) / 6

x₂ = -28 / 6

x₂ = -14/3

Portanto, a demanda desse produto é igual a 61 mil unidades nos meses 4 e -14/3.

Verified answer

A partir dos devidos cálculos realizados, chegamos na conclusão de que  a demanda por esse produto no mês 3 é de 38 mil unidades e   a demanda desse produto é igual a 61 mil unidades será produzida em 4 meses.

A função quadrática, também conhecida como função polinomial de segundo grau, representada pela equação f(x) = ax² + bx + c, onde a, b e c são constantes reais e a ≠ 0. Podemos escrever:

[tex]\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf f(x) = a\,x^{2} +b\,x + c = a\left[ x^{2} + \dfrac{b\,x}{a} + \dfrac{c}{a} \right] }[/tex]

Dados fornecidos pelo enunciado:

[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ \begin{cases} \sf P(x) = 3\,x^{2} +2\, x+5 \\ \sf P \to produto ~ em ~ milhares \\\sf x \to quantidade ~ em ~ meses \end{cases} } $ }[/tex]

Solução:

a) Qual é a demanda por esse produto no mês 3 ?

[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ \begin{cases}\sf P(3) = \:? \\ \sf x = 3 \end{cases} } $ }[/tex]

[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ } $ }[/tex][tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ P(x) = 3\,x^{2} +2\, x+5 } $ }[/tex]

[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ P(3) = 3 \cdot 3^{2} +2 \cdot 3+5 } $ }[/tex]

[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ P(3) = 3 \cdot 9 +6+5 } $ }[/tex]

[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ P(3) = 27 +11 } $ }[/tex]

[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ P(3) = 38 } $ }[/tex]

Logo, a demanda por esse produto no mês 3 é de 38 mil unidades.

b) Qual mês a demanda desse produto é igual a 61 mil unidades? ​

[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ \begin{cases}\sf P(x) = 61 \\ \sf x = \:? \end{cases} } $ }[/tex]

[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ P(x) = 3\,x^{2} +2\, x+5 } $ }[/tex]

[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ 61 = 3\,x^{2} +2\, x+5 } $ }[/tex]

[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ 3\,x^{2} +2\, x+5 -61 = 0 } $ }[/tex]

[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ 3\,x^{2} +2\, x-56 = 0 } $ }[/tex]

[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ \Delta = b^2 -\:4ac } $ }[/tex]

[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ \Delta = 2^2 -\:4 \cdot 3 \cdot (-56) } $ }[/tex]

[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ \Delta = 4+ 672 } $ }[/tex]

[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ \Delta = 676 } $ }[/tex]

[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ x = \dfrac{-\:b \pm \sqrt{ \Delta } }{2a} = \dfrac{-\:2 \pm \sqrt{676 } }{2\cdot 3} } $ }[/tex]

[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ x = \dfrac{-\:2 \pm 26 }{6} \Rightarrow\begin{cases} \sf x_1 = &\sf \dfrac{-\:2 + 26}{6} = \dfrac{24}{6} = \quad \:4 \\\\ \sf x_2 = &\sf \dfrac{-\:2 - 26}{6} = \dfrac{- 28}{6} = - \, \dfrac{14}{3} \end{cases} } $ }[/tex]

Assim, a demanda desse produto é igual a 61 mil unidades será produzida em 4 meses.

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