12. Três barras foram soldadas em forma de T, como mostra a figura a seguir. A relação entre os comprimentos das barras é L₂ = 2L₁ = 2L₂; a relação entre suas áreas é A₂ = 2. A₁ e A₂ = = 4 A, e a relação entre a condutividade térmica é x, = 3·Kek₂ = 4. K₁. 100 °C T= ? 3 10 °º℃ 200 °C TARUMÃ Determine a temperatura na junção, sabendo que foi usado um material isolante que impede a dissipação da energia térmica pelas laterais das barras.
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Resposta: Q = k * A * ΔT / L
No caso da junção em forma de T, temos três barras conectadas, cada uma com comprimentos diferentes. Vamos chamar as barras de 1, 2 e 3, sendo a barra 2 a haste vertical do "T". De acordo com as informações fornecidas, temos as seguintes relações:
L₂ = 2L₁ = 2L₃
A₂ = 2A₁
k₂ = 3k₃ = 4k₁
Supondo que a temperatura na junção seja T, podemos escrever as diferenças de temperatura ΔT₁, ΔT₂ e ΔT₃ como:
ΔT₁ = T - 100
ΔT₂ = T - 200
ΔT₃ = T
Agora, vamos calcular os fluxos de calor em cada barra. Usando a lei de Fourier e as relações fornecidas:
Q₁ = k₁ * A₁ * ΔT₁ / L₁
Q₂ = k₂ * A₂ * ΔT₂ / L₂
Q₃ = k₃ * A₃ * ΔT₃ / L₃
Podemos substituir as relações de comprimento e área:
Q₁ = k₁ * A₁ * (T - 100) / L₁
Q₂ = 4k₁ * 2A₁ * (T - 200) / (2L₁)
Q₃ = 3k₁ * 4A₁ * T / (2L₁)
Como o material isolante impede a dissipação de calor pelas laterais, o fluxo de calor em cada barra deve ser igual. Portanto, temos:
Q₁ = Q₂ = Q₃
Agora, podemos igualar as equações e resolver para T:
k₁ * A₁ * (T - 100) / L₁ = 4k₁ * 2A₁ * (T - 200) / (2L₁) = 3k₁ * 4A₁ * T / (2L₁)
Simplificando a expressão, podemos eliminar k₁, A₁ e L₁:
T - 100 = 8(T - 200) = 12T
Resolvendo as equações:
T - 100 = 8T - 1600
T - 100 = 12T
-11T = -1500
T = 1500 / 11 ≈ 136.36 °C