12. Três barras foram soldadas em forma de T, como mostra a figura a seguir. A relação entre os comprimentos das barras é L₂ = 2L₁ = 2L₂; a relação entre suas áreas é A₂ = 2. A₁ e A₂ = = 4 A, e a relação entre a condutividade térmica é x, = 3·Kek₂ = 4. K₁. 100 °C T= ? 3 10 °º℃ 200 °C TARUMÃ Determine a temperatura na junção, sabendo que foi usado um material isolante que impede a dissipação da energia térmica pelas laterais das barras.
No caso da junção em forma de T, temos três barras conectadas, cada uma com comprimentos diferentes. Vamos chamar as barras de 1, 2 e 3, sendo a barra 2 a haste vertical do "T". De acordo com as informações fornecidas, temos as seguintes relações:
L₂ = 2L₁ = 2L₃
A₂ = 2A₁
k₂ = 3k₃ = 4k₁
Supondo que a temperatura na junção seja T, podemos escrever as diferenças de temperatura ΔT₁, ΔT₂ e ΔT₃ como:
ΔT₁ = T - 100
ΔT₂ = T - 200
ΔT₃ = T
Agora, vamos calcular os fluxos de calor em cada barra. Usando a lei de Fourier e as relações fornecidas:
Q₁ = k₁ * A₁ * ΔT₁ / L₁
Q₂ = k₂ * A₂ * ΔT₂ / L₂
Q₃ = k₃ * A₃ * ΔT₃ / L₃
Podemos substituir as relações de comprimento e área:
Q₁ = k₁ * A₁ * (T - 100) / L₁
Q₂ = 4k₁ * 2A₁ * (T - 200) / (2L₁)
Q₃ = 3k₁ * 4A₁ * T / (2L₁)
Como o material isolante impede a dissipação de calor pelas laterais, o fluxo de calor em cada barra deve ser igual. Portanto, temos:
Q₁ = Q₂ = Q₃
Agora, podemos igualar as equações e resolver para T:
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Resposta: Q = k * A * ΔT / L
No caso da junção em forma de T, temos três barras conectadas, cada uma com comprimentos diferentes. Vamos chamar as barras de 1, 2 e 3, sendo a barra 2 a haste vertical do "T". De acordo com as informações fornecidas, temos as seguintes relações:
L₂ = 2L₁ = 2L₃
A₂ = 2A₁
k₂ = 3k₃ = 4k₁
Supondo que a temperatura na junção seja T, podemos escrever as diferenças de temperatura ΔT₁, ΔT₂ e ΔT₃ como:
ΔT₁ = T - 100
ΔT₂ = T - 200
ΔT₃ = T
Agora, vamos calcular os fluxos de calor em cada barra. Usando a lei de Fourier e as relações fornecidas:
Q₁ = k₁ * A₁ * ΔT₁ / L₁
Q₂ = k₂ * A₂ * ΔT₂ / L₂
Q₃ = k₃ * A₃ * ΔT₃ / L₃
Podemos substituir as relações de comprimento e área:
Q₁ = k₁ * A₁ * (T - 100) / L₁
Q₂ = 4k₁ * 2A₁ * (T - 200) / (2L₁)
Q₃ = 3k₁ * 4A₁ * T / (2L₁)
Como o material isolante impede a dissipação de calor pelas laterais, o fluxo de calor em cada barra deve ser igual. Portanto, temos:
Q₁ = Q₂ = Q₃
Agora, podemos igualar as equações e resolver para T:
k₁ * A₁ * (T - 100) / L₁ = 4k₁ * 2A₁ * (T - 200) / (2L₁) = 3k₁ * 4A₁ * T / (2L₁)
Simplificando a expressão, podemos eliminar k₁, A₁ e L₁:
T - 100 = 8(T - 200) = 12T
Resolvendo as equações:
T - 100 = 8T - 1600
T - 100 = 12T
-11T = -1500
T = 1500 / 11 ≈ 136.36 °C