Bonjour

I) Résoudre dans R les équations suivantes :

a) 1/(x-2)+1/(x+1)=1/2.

avec x - 2 # 0 et x + 1 # 0

x # 2 et x # -1

[(x + 1) + (x - 2)] / (x - 2)(x + 1) = 1/2

2(x + 1 + x - 2) = (x - 2)(x + 1)

2(2x - 1) - (x - 2)(x + 1) = 0

4x - 2 - (x^2 + x - 2x - 2) = 0

4x - 2 - x^2 + x + 2 = 0

-x^2 + 5x = 0

x(-x + 5) = 0

x = 0 ou -x + 5 = 0

x = 0 ou x = 5

b) 1/(x-2)+x/(x+2)=11-x/x²-4.

Avec x - 2 # 0 et x + 2 # 0

x # 2 et x # -2

[(x + 2) + x(x - 2)]/(x - 2)(x + 2) = (11 - x)/(x^2 - 2^2)

(x + 2 + x^2 - 2x)/(x - 2)(x + 2) = (11 - x)/(x - 2)(x + 2)

x^2 - x + 2 = 11 - x

x^2 - x + x - 11 + 2 = 0

x^2 - 9 = 0

x^2 - 3^2 = 0

(x - 3)(x + 3) = 0

x - 3 = 0 ou x + 3 = 0

x = 3 ou x = -3

II) Résoudre dans R les inéquations suivantes :

c) x²-6x-7/5-2x > 0 et

Avec 5 - 2x # 0

2x # 5

x = 5/2

x^2 - 6x - 7 = 0

x1 = (6 - 8)/2 = -2/2 = -1

x2 = (6 + 8)/2 = 14/2 = 7

x…………….|-inf……….(-1)………5/2……..7…….+inf

x^2-6x-7..|……..(+)…..o….(-)………(-)….o…(+)…….

5 - 2x…….|………(+)………..(+)…o…(-)………(-)……..

Ineq……….|……..(+)….o…..(-)….||….(+)…o….(-)……

d) x(x+1)/x-1 < 2x.

Avec x - 1 # 0

x # 1

x(x + 1) < 2x(x - 1)

x^2 + x < 2x^2 - 2x

2x^2 - x^2 - 2x - x > 0

x^2 - 3x > 0

x(x - 3) > 0

x - 3 = 0

x = 3

x…………| -inf…….0……..3……..+inf

x…………|……..(-)…o…(+)…..(+)……..

x - 3……|……..(-)………(-).o….(+)……

Ineq……|……..(+)..o….(-)..o…(+)……

III) Résoudre dans R×R le système d'équation suivant : {x⁴+y⁴=17 °°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°° xy=-1

x = -1/y

(-1/y)^4 + y^4 = 17

1/y^4 + y^4 = 17

1 + y^8 = 17y^4

y^8 - 17y^4 + 1 = 0

On remplace y^4 par Y :

Y^2 - 17Y + 1 = 0

Y1 = (17 - V285)/2 ~ 0,059

Y2 = (17 + V285)/2 ~ 16,94

y^4 = (17 - V285)/2 ou y^4 = (17 + V285)/2

y ~ 0,49 ou y ~ 2,03

xy = -1

x ~ -1/0,49 ~ -2,03

x ~ -1/2,03 ~ -0,49

{-2,03 ; 0,49} ou {-0,49 ; 2,03}

• Bonjour. Pour le dernier système d'équation on peut remarquer que x^4y^4=1 et en posant X=x^4 et Y=y^4 on en déduit immédiatement d'après le cours que X et Y sont solutions de l'équation a^2-17a+1=0
• ■ x(x+1) / (x-1) < 2x
  il faut
  cas x > 1 :
  x(x+1) < 2x(x-1) donne x² + x < 2x² - 2x
  0 < x² - 3x
  0 < x(x-3)
  0 < x-3
  3 < x .
  cas x < 1 :
  x(x+1) > 2x(x-1) donne x(x-3) < 0
  x > 0 .
  Solution = ] 0 ; 1 [ U ] 3 ; +∞ [ .
• ■ x^4 + y^4 = 17 ET xy = -1
  il est immédiat que y = -1/x
  on obtient donc :
  x^4 + 1/(x^4) = 17
  X + 1/X = 17 ( avec X = x^4 )
  X² + 1 = 17X
  X² - 17X + 1 = 0
  méthode canonique :
  (X-8,5)² - 71,25 = 0 ( or 71,25 ≈ 8,441² )
  (X-8,5 + √71,25) (X-8,5 - √71,25) = 0
  X = 8,5 - √71,25 ≈ 0,059 OU X = 8,5 + √71,25 ≈ 16,94 .
  x^4 ≈ 0,059 donne x ≈ -0,493 OU x ≈ 0,493
  x^4 ≈ 16,94 donne x ≈ -2,029 OU x ≈ 2,029 .
  Solution = { (-2,029 ; 0,493 ) ; ( -0,493 ; 2,029 ) ;
  ( 0,493 ; -2,029 ) ; ( 2,029 ; - 0,493) } .
• bonjour Miss Loula ! Ton d) semble faux --> Tu vérifies ?
• Merci à tous pour votre aide bonne journée ///