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Bonjour,

Soit n un entier naturel. On a

n² + 5n + 4 = n² + 2n + 1 - 2n - 1 + 5n + 4

n² + 5n + 4 = (n + 1)² + 3n + 3

n² + 5n + 4 = (n + 1)² + 3 (n + 1)

n² + 5n + 4 = (n + 1) (n + 1  + 3)

n² + 5n + 4 = (n + 1) (n + 4)

et on a

n² + 3n + 2 = n² + 2n + 1 + n + 1

n² + 3n + 2 = (n + 1)² + (n + 1)

n² + 3n + 2 = (n + 1) (n + 2)

On en déduit que n² + 5n + 4 et n² + 3n + 2 sont tous les eux divisibles par n + 1

b ) 3n² + 15n + 19 = 3 (n² + 2n + 1) - 6n - 3 + 15 n + 19

3n²+15n+19 =  3 (n+1)² + 9n + 16

3n²+15n+19 =  3 (n+1)² + 9n + 9 + 7

3n²+15n+19 =  3 (n+1)² + 9(n + 1) + 7

3n²+15n+19 =  (n + 1) (3n + 3 + 9) + 7

3n²+15n+19 =  (n + 1) (3n + 12) + 7

3n²+15n+19 est divisible par n + 1 si et seulement si 7 est divisible par n + 1

Soit n + 1 = 1 ou n + 1 = 7 (1 et 7 étant les seuls diviseurs de 7)

On en conclut que n = 0 ou n = 6

En effet 19 est divisible par 1 et 3 × 6² + 15 × 6 + 19 = 217 est divisible par 7

c ) Si 3n² + 15n + 19 est divisible par n² + 3n + 2 alors il serait force2ment divisible par n + 1 et par n + 4 (deux de2diviseurs de n² + 3n + 2

Comme en l'a vu plus haut, 3n² + 15n + 19 est divisible par n + 1 si et seulement si n = 0 ou n = 6

Si n = 0 alors 3n² + 15n + 19 = 19 et n + 4 = 4

Si n = 6 alors 3n² + 15n + 19 = 217 et n + 4 = 10

Dans les deux cas 3n² + 15n + 19 n'est pas divisible par n + 4

D'où 3n² + 15n + 19 n'est pas divisible par n² + 3n + 2