Vemos que para ver quantos litros vão vazar no sétimo dia podemos tirar encontra que no primeiro dia vazam 3 litros, no segundo 6 litros e no terceiro 9 litros e assim sucessivamente o vazamento segue, vemos que o regra lógica que segue esse vazamento é:

[tex]\large \sf a_n = a_{n-1} + 3~ L[/tex]

Isso significa que o próximo termo da sequência é igual ao termo anterior da sequência mais os 3 litros (razão da sequência), se este filtro ainda estiver presente nos últimos 4 dias e seguindo a mesma regra podemos dizer que no sétimo dia eles foram derramados:

[tex]\large \sf a_4 = 9~ L + 3~ L[/tex]

[tex]\large \sf a_4 = 12~ L[/tex]

[tex]\large \sf a_5 = 12~ L + 3~ L[/tex]

[tex]\large \sf a_5= 15~ L[/tex]

[tex]\large \sf a_6 = 15~ L+3~L[/tex]

[tex]\large \sf a_6 = 18~ L[/tex]

[tex]\large \sf a_7= 18~ L+ 3~L[/tex]

[tex]\large \sf a_7= 21[/tex]

• Portanto, é correto dizer que no sétimo dia vazaram 21 litros de água.

Agora para saber quantos litros vão vazar até o dia 30 teríamos que somar todos os termos do dia 1 ao dia 30, isso e quando a mesma regra for seguida.

• Qual é esta fórmula que determina a soma dos termos de uma projeção aritmética? Esta fórmula é representada principalmente pela fórmula:

[tex]\large\sf S_n = \dfrac{(a_1 + a_n )\cdot n}{2}[/tex]

Mas tanto o valor de sub "n" quanto o de "n" são representados pelo último dia do vazamento de água, se esse valor for igual a 30 temos a fórmula:

[tex]\large\sf S_{30} = \dfrac{(a_1 + a_{30} )\cdot 30}{2}[/tex]

Mas para usar essa fórmula já devemos obter o valor do termo número 30, mas esse termo está bem longe do nosso alcance e se quisermos calculá-lo sem usar a mesma regra e realizar mais de uma operação podemos usar a fórmula:

[tex]\large\sf a_{30} = a_1 +(30 - 1) \cdot r[/tex]

Mas todas essas incógnitas já foram encontradas na progressão aritmética que temos, assim como o primeiro termo e a razão, então o termo 30 é igual a:

[tex]\large\sf a_{30} = 3+(30 - 1) \cdot 3[/tex]

[tex]\large\sf a_{30} = 3+29 \cdot 3[/tex]

[tex]\large\sf a_{30} = 3+87[/tex]

[tex]\large\sf a_{30} = 90[/tex]

Esse valor do termo número 30 poderia nos ajudar a encontrar a soma de todos os termos de 1 a 30, se substituirmos nessa fórmula a soma é igual a:

[tex]\large\sf S_{30} = \dfrac{(3+ 90)\cdot 30}{2}[/tex]

[tex]\large\sf S_{30} = \dfrac{(93)\cdot 30}{2}[/tex]

[tex]\large\sf S_{30} = \dfrac{2,790}{2}[/tex]

S_{30} = 1,395 L

• Até o dia 30, serão perdidos 1.395 litros.

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