Bonjour pouvez vous m'aidez ?
A partir d'un triangle équilatéral de côté x cm :
• on divise chaque côté en trois segments de même longueur ;
• on construit un triangle équilatéral sur chaque segment médian ;
• on supprime chacun des segments médians ;
• on recommence.
Voici les trois premières figures obtenues :
On obtient les flocon de Koch.
On note P0
(respectivement P1
et P2
) la fonction qui à x associe le
périmètre de la figure à l'étape 0 (resp étapes 1 et 2).
1) Déterminer les expressions de P0
( x) , P1
( x) et P2
( x) . (/4)
2) a) Construire la figure de l'étape 0 pour x=6 . On appelle ABC ce triangle. (/1)
b) Tracer le cercle circonscrit au triangle ABC (laisser apparent les traits de
construction). On appelle O le centre de ce cercle. (/1,5)
c) Expliquer pourquoi OA<6 . (/1)
3) a) Compléter la figure pour obtenir l'étape 1. (/1)
b) Que peut-on dire de cette figure par rapport au cercle ? (/0,5)
c) En déduire que l'aire de la figure à l'étape 1 pour un côté initial de 6 cm est
inférieure ou égale à 114 cm
2
.
4) Pour la figure qu'on vient de construire, en continuant les étapes, on pourrait
montrer que le périmètre à l'étape n vaut Pn=18×(4/3)
a) Calculer le périmètre à l’étape 10 (arrondir au cm). (/1)
b) Calculer le périmètre à l’étape 100 ; le résultat sera donné en écriture
scientifique , ne garder que trois chiffres après la virgule dans cette écriture. (/1,5)
c) Peut-on dire que le périmètre devient très grand avec les différentes étapes ?
Peut-on faire la même remarque pour l’aire ? Expliquer la réponse. (/1,5)