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Partie C Démonstration de la conjecture de la partie A
1. Soit M le point défini par OM=OA+OB+OC.
a. À l'aide de la relation de Chasles et du résultat de
la partie B, montrer que:
AM = A...+...M-20A
b. Que peut-on dire des droites (AM) et (OA)?
c. En déduire que la droite (AM) est la hauteur issue
de A du triangle ABC.
d. Démontrer de même que (BM) est la hauteur issue
de B du triangle ABC.
e. Justifier que M et H sont confondus et qu'on a
l'égalité : OH = OA+OB+OC.
2. Soit N le point tel que
NA+NB+NC=0.
a. À l'aide de la relation de Chasles et du résultat de
la partie B, montrer que:
3NA+2AA'=0
b. En déduire que Ne (AA').
c. Montrer de même que N = (BB').
d. Justifier que Net G sont confondus et qu'on a l'éga-
lité: GA+GB+GC=0.
3. À partir des égalités obtenues aux questions 1 e
2 OH=30G.
et 2. d. et la relation de Chasles, montrer que (
Conclure.
Partie C Démonstration de la conjecture de la partie A
1. Soit M le point défini par OM=OA+OB+OC.
a. À l'aide de la relation de Chasles et du résultat de
la partie B, montrer que:
AM = A...+...M-20A
b. Que peut-on dire des droites (AM) et (OA)?
c. En déduire que la droite (AM) est la hauteur issue
de A du triangle ABC.
d. Démontrer de même que (BM) est la hauteur issue
de B du triangle ABC.
e. Justifier que M et H sont confondus et qu'on a
l'égalité : OH = OA+OB+OC.
2. Soit N le point tel que
NA+NB+NC=0.
a. À l'aide de la relation de Chasles et du résultat de
la partie B, montrer que:
3NA+2AA'=0
b. En déduire que Ne (AA').
c. Montrer de même que N = (BB').
d. Justifier que Net G sont confondus et qu'on a l'éga-
lité: GA+GB+GC=0.
3. À partir des égalités obtenues aux questions 1 e
2 OH=30G.
et 2. d. et la relation de Chasles, montrer que (
Conclure.
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a) On a OM=OA+OB+OC il faut ensuite introduire les vecteurs AM et OA'
Pour cela on utilise la relation de Chasles. On a donc :
OA+AM=OA+OB+OC
AM=OB+OC
AM=OA'+A'B+OA'+A'C
AM=2OA'+A'B+A'C
AM=2OA'+A'B-BA' (car A' est le milieu de [BC] donc BA'=A'C)
AM=2OA'
Le point M appartient forcément à la hauteur du triangle car AM s'exprime en fonction de OA' qui est perpendiculaire à [BC]. Ainsi AM seras également perpendiculaire à [BC] et par définition AM passe par le point A donc AM appartient bien à la hauteur du triangle.
Pour montrer que M et H sont confondus, il suffit de montrer que AM et AH sont égaux. Je te laisse démonter ça.
c) Résonnons par équivalence :
OA+OB+OC=3OG
⇔ OA+AM=3OG (car dans la question 1 on a AM=OB+OC)
⇔ OM=3OG
⇔ OH=3OG (car H et M sont confondus)