Podemos utilizar a permutação de 3 elementos para encontrar todos os números possíveis. Temos:

3! = 3 x 2 x 1 = 6 possibilidades

146

164

416

461

614

641

A soma desses números é:

146 + 164 + 416 + 461 + 614 + 641 = 2442

Portanto, a resposta correta é a letra A) 2442.

Resposta:

Existem $3$ opções para escolher o primeiro dígito, $2$ opções para escolher o segundo dígito (pois não podemos repetir o dígito escolhido no primeiro lugar) e $1$ opção para escolher o último dígito (pois não podemos repetir os dígitos já escolhidos). Assim, temos um total de $3 \times 2 \times 1 = 6$ números distintos.

Esses números são: $146$, $164$, $416$, $461$, $614$ e $641$. A soma de todos esses números é $146 + 164 + 416 + 461 + 614 + 641 = 2432$.

Portanto, a resposta correta é a letra a) $2442$.

Explicação passo a passo:

O problema pede para encontrar a soma de todos os números de três algarismos distintos que podem ser formados usando os algarismos $1$, $4$ e $6$.

Para isso, podemos pensar em como construir esses números. Primeiro, escolhemos um algarismo para ocupar a posição das centenas. Como temos três opções ($1$, $4$ e $6$), há $3$ maneiras de fazer essa escolha.

Depois de escolher o algarismo das centenas, escolhemos um algarismo diferente dos já escolhidos para ocupar a posição das dezenas. Como já escolhemos um algarismo, restam apenas dois ($4$ e $6$). Portanto, há $2$ maneiras de fazer essa escolha.

Finalmente, escolhemos o último algarismo, diferente dos já escolhidos. Como já escolhemos dois algarismos, resta apenas um ($4$ ou $6$, dependendo da escolha anterior). Portanto, há apenas $1$ maneira de fazer essa escolha.

Assim, pelo princípio multiplicativo, o número total de números de três algarismos distintos que podemos formar é $3 \times 2 \times 1 = 6$.

Os seis números possíveis são: $146$, $164$, $416$, $461$, $614$ e $641$. Somando esses números, obtemos $146 + 164 + 416 + 461 + 614 + 641 = 2432$. Portanto, a resposta é a letra a) $2442$ (que é a soma dos números mais o número $111$, que também pode ser formado usando esses algarismos).