Réponse :

Soit la fonction f définie sur R\{0} par : f(x) = (1-x)^3 /x²  

On note C sa courbe représentative.

1) Trouver a,b,c,d tels que pour tout réels x non nul : f(x) = ax+b + [(cx+d) / x²]

f(x)=  ( 1 - 2x+x²)( 1-x)  /x² =  ( 1/x²   - 2/x  +  1)(1-x)=  1/x²   -2/x  + 1 - 1/x   + 2   - x

=   -x  +  3   + 1/x²   -  3/x    =  -1x  + 3  + ( -3x  + 1) /x²    a= -1  b=3  c= -3   d= 1

2)  f '(x) = - 1  -  2/x^3   +  3/x²  = ( -x^4   -2x   +3x²)  /x^4  

x^4  est   positif         -x^4 + 3x² -2x =  -x^4  +x²  +  2x² -2x =  x²(-x²+1) +2x(x-1)

=x²(x-1)(-x-1)  +2x(x-1)=  x(x-1)(  x(-x-1)  + 2 )  =x(x-1)(-x²  - x +2)

-x² -x +2 = -x² +x  - 2x   +2  =  -x(x-1)  - 2(x-1)= (x-1)(-x-2)  

 -x^4 + 3x² -2x = x(x-1)(x-1)(-x-2)=  x(x-1)²(-x-2)  

f '(x) est donc  positif  si  x(-x-2)   est positif    :    -2<x<0  

f est donc décroissante sur  ] -∞ ; -2 [    et   ] 0; +∞ [

croissante  sur ]-2 ;0 [  

3) Determiner une équation de la tangente F à la courbe c au point 1/2. 5cette question je l'ai saisie)  

4) on peut trouver le point de C ou la tangente à C est parallèle à la droite Δ d'équation y = -x   s'il existe   b tel que   l'  équation

f(x) = - x + b   a une solution   double au moins

f(x) = -x + b

(1-x)^3 =  x² (-x+b)  

1 - 3x + 3x²  - x^3  =  -x^3  + bx²

(b -3)x²  + 3x - 1 =0    

cette equation   a une solution  double si   delta = 0

delta = 9 -4(-1)(b-3)= 9 +4b  -12 = 4b  - 3    d'où  b= 3/4

equation  de la tangente   y = -x  + 3/4

cette solution double est  l'abscisse de C    

xC      =  - 3/2(b-3)=  - 3 /2(3/4-3)   = - 3/2( -9/4)  = 3/2 * 4/9  = 2/3  

yC   = f( 2/3)  

5) Etudier la posiyion de C par rapport à la droite D d'équation y = -x+3.

f(x)  -  ( -x+3) =  f(x)  + x  -3  =  1/x²  - 3/x  + 3  - x +x -3 =  1/x²  -  3/x  

= ( 1 -3x)  / x²

f(x)  - (-x+3) < 0      C est  au dessous de D   si     1 -3x <0     si   x > 1/3

f(x)  - (-x+3) > 0      C est  au dessus de D   si     1 -3x >0     si   x < 1/3