Explicação passo-a-passo:

Para encontrar as coordenadas do ponto máximo ou mínimo da função \(J(x) = \frac{3x^2}{2} + \frac{3x}{4} + \frac{9}{2}\), precisamos calcular a primeira derivada e determinar onde ela é igual a zero. Vamos realizar isso:

1. Primeira derivada de \(J(x)\):

\(J'(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{3x^2}{2} + \frac{3x}{4} + \frac{9}{2} \right)\)

Aplicando a regra da potência e a regra da constante, temos:

\(J'(x) = \frac{3}{2} \cdot 2x + \frac{3}{4} = 3x + \frac{3}{4}\)

2. Igualando a primeira derivada a zero para encontrar os pontos críticos:

\(3x + \frac{3}{4} = 0\)

Resolvendo para \(x\), temos:

\(3x = -\frac{3}{4}\)

\(x = -\frac{1}{4}\)

Agora que temos o ponto crítico \(x = -\frac{1}{4}\), podemos determinar se é um ponto de máximo ou mínimo usando a segunda derivada:

3. Segunda derivada de \(J(x)\):

\(J''(x) = \frac{d}{dx} \left( 3x + \frac{3}{4} \right)\)

A derivada de uma constante é zero, então:

\(J''(x) = 3\)

A segunda derivada é positiva (maior que zero), o que indica que o ponto crítico \(x = -\frac{1}{4}\) é um ponto de mínimo.

Agora, substituímos o valor de \(x\) de volta na função \(J(x)\) para encontrar o valor mínimo e as coordenadas do ponto mínimo:

\(J\left(-\frac{1}{4}\right) = \frac{3}{2} \cdot \left(-\frac{1}{4}\right)^2 + \frac{3}{4} \cdot \left(-\frac{1}{4}\right) + \frac{9}{2}\)

Calculando, temos:

\(J\left(-\frac{1}{4}\right) = \frac{3}{32} - \frac{3}{16} + \frac{9}{2} = \frac{15}{8}\)

Portanto, o ponto mínimo é \(\left(-\frac{1}{4}, \frac{15}{8}\right)\).