2) Considerando a seguinte transformação: T: R² → R², tal que T(x, y) = (4x + y, 2x – y) assinale a alternativa que forneça o polinômio característico que pode ser utilizado para determinar o autovalor e o autovetor dessa transformação. Alternativas: a) λ² – 3λ – 6. b) λ² – 5λ + 2. c) λ² – 5λ + 6. d) λ² – 5λ. e) λ² + 3λ – 2.
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Resposta:
Olá!
Considerando a base canônica do R² {(1,0),(0,1)}, escreva a matriz da transformação.
x y
[tex]A=\left[\begin{array}{ccc}4&1\\2&-1\\\end{array}\right][/tex]
Faça:
A - λ . I
Onde I é a matriz identidade de mesma ordem
[tex]\left[\begin{array}{ccc}4&1\\2&-1\\\end{array}\right]- \lambda. \left[\begin{array}{ccc}1&0\\0&1\\\end{array}\right][/tex]
[tex]\left[\begin{array}{ccc}4&1\\2&-1\\\end{array}\right]- \left[\begin{array}{ccc}\lambda&0\\0&\lambda\\\end{array}\right][/tex]
[tex]\left[\begin{array}{ccc}4-\lambda&1\\2&-1-\lambda\\\end{array}\right][/tex]
O polinômio característico é o determinante da matriz acima.
P(λ) = (4 - λ)(-1 - λ) - [(1)(2)]
P(λ) = -4 - 4λ + λ + λ² - 2
P(λ) = λ² -3λ - 6
(as raízes são os autovalores)
Letra A