Réponse :

Explications étape par étape :

Rappel:

1) si  a < x <b   si x est compris entre deux nombres positifs

alors a² < x² <b²  (les inégalités ne changent pas de sens avec les nombres positifs)

2) si a < x <b   si x est compris entre deux nombres négatifs

alors a² > x² > b² (les inégalités changent de sens avec les nombres négatifs)

3) si a < x <b   si x est compris entre un nombre négatif et un nombre positif

alors 0 < x² < sup(a²; b²) (on met toujours 0 le plus petit nombre et l'autre nombre c'est le plus grand entre les deux carrés a² et b².

sup(a²; b²) c'est le plus grand nombre entre les deux carrés a² et b².

Maintenant on commence l'exercice.

on va encadrer chaque terme et après on fait la somme de ces termes

Donc, on encadre 4a² ; 4a; -b²; 2b

on encadre 4a²

-2 < a < -1  ici a est compris entre deux nombres négatifs donc

4 > a² >1   on peut écrire ceci comme suit  1 < a² < 4

donc  4*1 < 4*a² < 4*4

alors 4 < 4a² < 16

on encadre -b²

on  -1 < b < 2 ici b est compris entre un nombre négatif et un nombre positif et 2² est supérieur à (-1)²

donc 0 < b² < 4

donc -4 < -b² < 0  (lorsqu'on change les signes on change le sens des inégalités)

on encadre 4a

on a -2 < a < -1

donc 4*(-2) < 4*a < 4*(-1)

donc -8 < 4a < -4

on encadre 2b

on a -1 < b < 2

donc 2*(-1) < 2*b < 2*2

donc -2 < 2b < 4

Maintenant on va faire la somme de ces différents encadrements qu'on trouvé:

4 < 4a² < 16      

-8 < 4a < -4

-4 < -b² < 0

-2 < 2b < 4  

alors  4 -8 -4 -2 < 4a² +4a -b² +2b < 16 -4 +0 +4        

donc -10 < 4a² +4a -b² +2b < 16            

puis on ajout (-3) dans chaque membre

alors -10 -3 < 4a² +4a -b² +2b -3  < 16 -3

donc       -13 < 4a² +4a -b² +2b -3  < 13