Com base nas relações trigonométricas do triângulo retângulo, concluímos que  b = 18   e   h = 12√2  ⇒ alternativa c)

Como trata-se de um triângulo retângulo (um ângulo mede 90°), vamos considerar algumas relações originadas do Teorema de Pitágoras :

[tex]\large \text {$\bullet~b^2 = a~. ~m $}[/tex]

[tex]\large \text {$\bullet~h^2 = m~. ~n $}[/tex]

Com:

a = Hipotenusa (maios lado do triângulo)

b, c = Catetos (demais lados)

h = Altura

m = Projeção do cateto b na hipotenusa

n = Projeção do cateto c na hipotenusa

Obs.: Considere as projeções como a "sombra" que cada cateto faz sobre a hipotenusa.

Vamos aos dados da questão:

a = Hipotenusa = 54

b = cateto

m = Projeção de b sobre a hipotenusa ⇒ 54 - 48 = 6

c = AB = outro cateto

n = Projeção de c sobre a hipotenusa = 48

⇒ Utilizando a 1ª relação:

[tex]\large \text {$ b^2 = a~. ~m $}[/tex]

[tex]\large \text {$ b^2 = 54~. ~6 $}[/tex]

[tex]\large \text {$ b^2 = 324 $}[/tex]

[tex]\large \text {$ b = \sqrt{324} $}[/tex]

[tex]\large \text {$ \boxed{b=18 } $}[/tex]

⇒ Agora a 2ª relação:

[tex]\large \text {$h^2 = m~. ~n $}[/tex]

[tex]\large \text {$h^2 = 6~.~ 48 $}[/tex]

[tex]\large \text {$h^2 = 288 $}[/tex]

[tex]\large \text {$h = \sqrt{288} $}[/tex]

Fatorando 288 em números primos temos:

288 = 2.2.2.2.2.3.3, agrupando de dois em dois para cortar com a raiz:

288 = 2 . 2². 2². 3²

[tex]\large \text {$\sqrt{288} = \sqrt{2.2^2.2^2.3^2} = \sqrt[2]{2}~ . ~ \sqrt[\backslash\!\!\!2]{2^{\backslash\!\!\!2}}~ . ~ \sqrt[\backslash\!\!\!2]{2^{\backslash\!\!\!2}} ~ . ~ \sqrt[\backslash\!\!\!2]{3^{\backslash\!\!\!2}} $}[/tex]

[tex]\large \text {$\sqrt{288} = 2~.~2~.~3~.\sqrt{2} $}[/tex]

[tex]\large \text {$\sqrt{288} = 12\sqrt{2} $}[/tex]

Logo,

[tex]\large \text {$ \boxed{h = 12\sqrt{2}} $}[/tex]

Portanto a alternativa correta é c)

Veja mais sobre essas relações:

→ https://brainly.com.br/tarefa/51111635