En appliquant cette inégalité à x et y, nous avons :
[(x² + y²)/2]^(1/2) ≥ (x + y)/2
Il est donné que 2x + 4y = 1, donc :
(x + y) = (1 - 2x)/4
En remplaçant (x + y) par (1 - 2x)/4, nous avons :
[(x² + y²)/2]^(1/2) ≥ (1 - 2x)/8
En élevant les deux côtés de l'inégalité au carré, nous avons :
(x² + y²)/2 ≥ (1 - 2x)²/64
Simplifiant cette expression, nous avons :
32(x² + y²) ≥ (1 - 2x)²
Expandidant le terme carré, nous avons :
32(x² + y²) ≥ 1 - 4x + 4x²
En réarrangeant les termes, nous avons :
4x² + 4x + (32y² - 1) ≤ 0
Le discriminant de cette expression est :
Δ = (4)² - 4(4)(32y² - 1) = - 512y² + 17
Comme le discriminant est négatif pour tout y réel, l'expression 4x² + 4x + (32y² - 1) ne peut pas être positive pour tout y réel. Par conséquent, nous avons :
4x² + 4x + (32y² - 1) ≤ 0
En divisant les deux côtés par 4, nous avons :
x² + x/2 + (8y² - 1/4) ≤ 0
Comme x² + x/2 est toujours positif, nous avons :
x² + y² ≤ 1/20
Ainsi, nous avons démontré que x² + y² ≤ 1/20, ce qui conclut la preuve.
Explications étape par étape :
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manon200814
Nous pouvons résoudre cette démonstration en utilisant l'identité remarquable (x + y)² = x² + 2xy + y².
Commençons par diviser les deux côtés de l'équation 2x + 4y = 1 par 2 pour obtenir x + 2y = 1/2.
Maintenant, élevons au carré les deux côtés de cette équation pour obtenir (x + 2y)² = (1/2)², ce qui donne x² + 4xy + 4y² = 1/4.
Remplaçons maintenant 2xy dans cette équation par 2x (1/2 - x) en utilisant l'équation de départ, ce qui donne x² + 4x (1/2 - x) + 4y² = 1/4.
Simplifions cette équation pour obtenir 5x² - 4x + 4y² - 1/4 = 0.
Résolvons maintenant cette équation du second degré en utilisant la formule du discriminant. Le discriminant est égal à 16 - 4 (5) (4y² - 1/4), ce qui donne 16 - 20y² + 5/4.
Le discriminant est donc égal à 65/4 - 20y². Comme cette expression doit être positive ou nulle pour que l'équation ait des solutions réelles, nous avons 65/4 - 20y² ≥ 0, ce qui donne y² ≤ 1/20.
Nous pouvons donc conclure que x² + y² ≤ x² + 1/20. Comme x² est positif, nous avons x² + y² ≤ x² + 1/20 Ainsi, nous avons démontré que si 2x + 4y = 1, alors x² + y²
Lista de comentários
Réponse :
Pour démontrer que x² + y² ≤ 1/20, nous allons utiliser l'inégalité bien connue entre la moyenne arithmétique et la moyenne quadratique :
Pour tout ensemble de nombres réels a₁, a₂, ..., an, la moyenne quadratique est toujours supérieure ou égale à la moyenne arithmétique :
[(a₁² + a₂² + ... + an²)/n]^(1/2) ≥ (a₁ + a₂ + ... + an)/n
En appliquant cette inégalité à x et y, nous avons :
[(x² + y²)/2]^(1/2) ≥ (x + y)/2
Il est donné que 2x + 4y = 1, donc :
(x + y) = (1 - 2x)/4
En remplaçant (x + y) par (1 - 2x)/4, nous avons :
[(x² + y²)/2]^(1/2) ≥ (1 - 2x)/8
En élevant les deux côtés de l'inégalité au carré, nous avons :
(x² + y²)/2 ≥ (1 - 2x)²/64
Simplifiant cette expression, nous avons :
32(x² + y²) ≥ (1 - 2x)²
Expandidant le terme carré, nous avons :
32(x² + y²) ≥ 1 - 4x + 4x²
En réarrangeant les termes, nous avons :
4x² + 4x + (32y² - 1) ≤ 0
Le discriminant de cette expression est :
Δ = (4)² - 4(4)(32y² - 1) = - 512y² + 17
Comme le discriminant est négatif pour tout y réel, l'expression 4x² + 4x + (32y² - 1) ne peut pas être positive pour tout y réel. Par conséquent, nous avons :
4x² + 4x + (32y² - 1) ≤ 0
En divisant les deux côtés par 4, nous avons :
x² + x/2 + (8y² - 1/4) ≤ 0
Comme x² + x/2 est toujours positif, nous avons :
x² + y² ≤ 1/20
Ainsi, nous avons démontré que x² + y² ≤ 1/20, ce qui conclut la preuve.
Explications étape par étape :
Commençons par diviser les deux côtés de l'équation 2x + 4y = 1 par 2 pour obtenir x + 2y = 1/2.
Maintenant, élevons au carré les deux côtés de cette équation pour obtenir (x + 2y)² = (1/2)², ce qui donne x² + 4xy + 4y² = 1/4.
Remplaçons maintenant 2xy dans cette équation par 2x (1/2 - x) en utilisant l'équation de départ, ce qui donne x² + 4x (1/2 - x) + 4y² = 1/4.
Simplifions cette équation pour obtenir 5x² - 4x + 4y² - 1/4 = 0.
Résolvons maintenant cette équation du second degré en utilisant la formule du discriminant. Le discriminant est égal à 16 - 4 (5) (4y² - 1/4), ce qui donne 16 - 20y² + 5/4.
Le discriminant est donc égal à 65/4 - 20y². Comme cette expression doit être positive ou nulle pour que l'équation ait des solutions réelles, nous avons 65/4 - 20y² ≥ 0, ce qui donne y² ≤ 1/20.
Nous pouvons donc conclure que x² + y² ≤ x² + 1/20. Comme x² est positif, nous avons x² + y² ≤ x² + 1/20
Ainsi, nous avons démontré que si 2x + 4y = 1, alors x² + y²
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