Réponse :

Exercice 4

1) Calculer la fonction dérivée des fonctions suivantes :

a) f(x) = (x + 2)eˣ définie sur R

(x + 2) est une fonction polynôme dérivable sur R

eˣ  est une fonction référence dérivable sur R

donc le produit de deux fonctions dérivable sur R est dérivable sur R

et sa dérivée  f '(x) = (uv)' = u'v + v'u

u(x) = x + 2   ⇒ u'(x) = 1

v(x) = eˣ  ⇒ v'(x) = eˣ

f '(x) = eˣ + (x + 2)eˣ

       = (1 + x + 2)eˣ

donc  f '(x) = (x + 3)eˣ

b) g(x) = 9eˣ/(eˣ+1) définie sur R

  le quotient de deux fonctions dérivables sur R est dérivable sur R

et sa dérivée  g '(x) = (u/v)' = (u'v - v'u)/v²

u(x) = 9eˣ  ⇒ u'(x) = 9eˣ

v(x) = eˣ + 1  ⇒ v'(x) = eˣ

g '(x) = (9eˣ(eˣ + 1) - (9eˣ)eˣ)/(eˣ + 1)²

        = (9e²ˣ + 9eˣ - 9e²ˣ)/(eˣ + 1)²

donc  g '(x) = 9eˣ/(eˣ + 1)²

2) h(x) = 3 x² - 7 x - 8eˣ   définie sur R

déterminer l'équation de la tangente à la courbe Ch au point d'abscisse x = 1

h '(x) = 6 x - 7 - 8eˣ  ⇒ h '(1) = 6 - 7 - 8e = - 1 - 8e

h(1) = 3 - 7 - 8e = - 4 - 8e

y = h(1) + h'(1)(x - 1) = (- 4 - 8e) + (- 1 - 8e)(x - 1)

  = - 4 - 8e + (- x + 1 - x8e + 8e)

  = - 4 - 8e + - x + 1 - x8e + 8e

 = - 4 - x + 1 - x8e

 = - 3 - (1 + 8e) x

donc  y = - 3 - (1 + 8e) x    

Explications étape par étape :