Réponse :

Explications étape par étape :

■ partie A : Uo = 1 ; U1 = 1/9 ; U2 = 1/73 ;

U3 = 1/585 ; U4 = 1/4681 ; U5 = 1/37449 ;

U6 = 1/299593 ; U7 = 1/2396745 ;

U8 = 1/19173961 ; U9 = 1/153391689 ; ...

La suite (Un) est positive, décroissante,

de Limite égale à 0 .

■ A2°) le dénominateur "n+1" s' obtient

en calculant 8 x D + 1

avec D = Dénominateur du terme de rang "n" .

■ B1°) Un+1 = (Un+8-8)/(Un+8)

                  = 1 - 8/(Un+8)

                 = 1 - un nombre positif plus petit que 1

                 > 0

           donc (Un) est bien une suite positive !

■ B2°) f(x) = x/(x+8) donne f ' (x) = (x+8 - x) / (x+8)²

                                                    = 8/(x+8)² > 0

   donc la fonction f est croissante ( pour x croissant )

    d' où la suite (Un) est décroissante .

■ B3°) (Un) est bien une suite positive

             décroissante de Limite zéro .

■ C1°) Vo = 8 ; V1 = 64 ; V2 = 512 ; ...

          (Vn) est donc une suite géométrique positive

croissante de raison q = 8 et de terme initial Vo = 8 .

■ C2°) Vn = 8 x 8 puissance(n) = 8 puiss(n+1)

           donc Un = 7 / (Vn - 1)

            d' où Un = 7 / ( 8puiss(n+1) - 1 ) .

■ C3°) Lim Un = Lim 7 / (8puiss(n)) = 0 .

■ C4°) on veut Un < 10 puiss(-18)

           Un - 10puiss(-18) < 0

                                    n > 19

                                    n = 20 .

           vérif : n = 20 donne n+1 = 21

                     donc U20 = 7/(8puiss21 - 1)

                                      = 7/9,2234x10puiss18

                                      = 7,59x10puiss(-19)

                                      = 0,759x10puiss(-18)

                                      < 10 puiss(-18) .