Bonjour!!
J'ai un DM à faire et je n'arrive vraiment pas à répondre aux questions, voici l'énoncé:
On considère les deux suites (Un) et (Vn) définies, pour tout n appartenant à N, par :
Un=(3*2 puissance n - 4n + 3)/2
Vn= (3*2 puissance n + 4n - 3)/2
1) Soit (Wn) la suite définie par Wn=Un+Vn. Démontrer que (Wn) est une suite géométrique.
2)Soit (Tn) la suite définie par Tn=Un-Vn. Démontrer que (Tn) est une suite arithmétique.
3) Exprimer la somme suivante en fonction de n : S=U0+U1+ ... +Un
Merci à ceux qui pourront m'aider!
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On considère les deux suites (Un) et (Vn) définies, pour tout n appartenant à N, par : Un=(3*2^n - 4n + 3)/2Vn= (3*2n + 4n - 3)/2
1) Soit (Wn) la suite définie par Wn=Un+Vn. Démontrer que (Wn) est une suite géométrique.
Wn=(3*2^n - 4n + 3)/2 + (3*2n + 4n - 3)/2
=(3*2^n+3*2^n)/2
=3*2^n
donc Wn est du type W0*q^n
donc (Wn) est une suite géométrique de 1er terme W0=3 et de raison q=2
2)Soit (Tn) la suite définie par Tn=Un-Vn. Démontrer que (Tn) est une suite arithmétique.
Tn=(3*2^n - 4n + 3)/2 - (3*2n + 4n - 3)/2
=(-4n+3-4n+3)/2
=3-4n
donc Tn est du type T0+r*n
donc (Tn) est une suite arithmétique de 1er terme T0=3 et de raison r=-4
3) Exprimer la somme suivante en fonction de n : S=U0+U1+ ... +Un
Un-Vn=3-4n
Un+Vn=3*2^n
donc Un=(Wn+Tn)/2
donc S=(S1+S2)/2
avec
S1=3*(1-2^(n+1))/(1-2)
=-3(1-2^(n+1))
=6*2^n-3
S2=(3+3-4n)/2*(n+1)
=(3-2n)(n+1)
=-2n²+n+3
donc S=(6*2^n-3-2n²+n+3)/2
S=3*2^n-n²+n/2