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Réponse :

bonsoir

Explications étape par étape :

Soit A(-9; 7), B(3; 5), C(8; -2) et D(-4; 0) quatre points.

1. a) Calculer les coordonnées des vecteurs  AB et CD.

  → vecteur AB ( xB - xA ; yB - yA) = (3 + 9 ; 5 - 7) = (12 ; -2)

  → vecteur AB(12 ; - 2)

  → vecteur CD( xD - xD ; yD - yC) = (-4 - 8 ; 0 + 2) = (-12 : 2)

  → vecteur CD( -12 ; 2)

b) En déduire la nature du ABCD.

   → AB = - CD → donc ABCD est un parallélogramme

2.a) Calculer les coordonnées de M et N.

→ M milieu de AB → M( (xA + xB)/2 ; (yA + yB) /2) = ((-9 + 3)/2 ; (7 + 5)/2)

                             → M ( -3 ; 6)

→ si N est tel que DN = 1/2DC alors N milieu de DC

                              → N( (xD + xC)/2 ; (yD + yC)/2) = ((- 4 + 8)/2 ; (0 - 2)/2)

                              → N( 2 ; - 1)

b) Calculer le déterminant des vecteurs MD et BN.

→ vecteur MD (xD - xM ; yD - yM) = (- 4 + 3 ; 0 - 6 ) = (- 1 ; -6)

→ vecteur MD( - 1 ; - 6)

→ vecteur BN ( xN - xB ; yN - yB) = ( 2 - 3 ; - 1  - 5 ) = (- 1 ; -6 )

→ vecteur BN( - 1 ; - 6)

⇒ vecteur MD = vecteur BN donc le déterminant = 0

⇒( -1 x - 6) - ( -1 x - 6 ) = 6 - 6 = 0

c) Calculer la norme de BM, BN et MN.

BM = √(xM - xB)² + yM - yB)²

BM = √( - 3 - 3 )² + (6 - 5)²

BM = √(-6)² + (-1)²

BM = √37

BN = √(xN - xB )² + (yN - yB)²

BN = √(2 - 3)² + (-1 -5)²

BN = √(-1)² + (-6)²

BN = √37

MN = √(xN - xM )² + (yN - yM)²

MN = √( 2 + 3)² + (-1 - 6)²

MN = √5² + (-7)²

MN =√ 25 + 49

MN = √74

d) Montrer que MBN est un triangle rectangle

• si MBN triangle rectangle , alors MN hypoténuse de ce triangle car coté le plus long et MBN rectangle en B

Pythagore dit alors → MN² = BN²+ BM²

• on calcule les 2 rapports séparément

→ MN² = √74²

→ MN² = 74

et

→ BN² + BM² = √37² + √37² = 37 + 37 = 74

donc comme MN² = BN² + BM² le triangle est rectangle en B

e) En déduire la nature du quadrilatère MBND.

• d'après la question (2b) on sait que vecteur MD = vecteur BN donc

MBND est un parallélogramme

• d'après la question (2d) , MBN triangle rectangle en B donc MBND a un angle droit B

donc c'est aussi un rectangle

• d'après la question (2c) on sait également que BN = BM = √37

donc le rectangle MBND ayant 2 cotés concécutifs de meme longueur est un carré

MBND est donc un carré  

voilà

bonne soirée et belles vacances

PS : tu mettras des flèches sur les vecteurs

la norme d'un veecteurs se notent ║BN║ avec une flèche sur le vetcteur

ou BN sans flèche