Sujet du devoir
Exercice 1
On suppose que a congru 3 [17] et b congru 5 [17]
...
4) Derterminer le reste de la division euclidienne de a^3 +3b^3 par 17.
Exercice 2
1) On note n un entier naturel.
Quels sont les restes possibles des divisions euclidiennes de l'entier n^2 par 5 ?
2) On note n un entier naturel.
Quels sont les restes possible des division euclidienne de l'entier n^3 par 7 ?
3)a)Démontrer que quelque soit n appartient N, 2^(n+4) congru 2^n [5]
b) Trouver sans l'aide de la calculatrice, le reste de la division euclidienne de 12^1527 par 5.
4)a)Démontrer que quelque soit n appartient N, 5^(n+6) congru 5^n [7]
b) ........................................................................, 2^(n+6) congru 2^n[7]
c)Trouver sans l'aide de la calculatrice, le reste de la division euclidienne de
19^52 x23^41 par 7.
Où j'en suis dans mon devoir
Pour moi :
Exercice 1
4)a^3+3b^3 = 3^3+3 x 5^3 = 402
402=17 x 23 + 11 donc 402 congru 11 [7] et 11 est le reste de la divison euclidienne
Exercice 2
1) Je ne sais pas quel procédé utilisait/
2)De même que pour la 1)
3a) Je ne sais pas comment faire
b) 12 = 5 x 2 +2
12^4 = 20736 congrue 1 [5] car 20736 = 5 x 4147 + 1
et 1527 = 5 x 305 + 2
Donc (12^4)^305 congrue 1^305 [5]
Et je ne sais pas comment continuer
4) a) et b) Pareil que au dessus, je ne sais pas quelle procédure utilisé.
c)Étant donner a multiplication je ne vois pas comment appliquer ma démarche.
Merci pour votre aide !
Exercice 1
On suppose que a congru 3 [17] et b congru 5 [17]
...
4) Derterminer le reste de la division euclidienne de a^3 +3b^3 par 17.
Exercice 2
1) On note n un entier naturel.
Quels sont les restes possibles des divisions euclidiennes de l'entier n^2 par 5 ?
2) On note n un entier naturel.
Quels sont les restes possible des division euclidienne de l'entier n^3 par 7 ?
3)a)Démontrer que quelque soit n appartient N, 2^(n+4) congru 2^n [5]
b) Trouver sans l'aide de la calculatrice, le reste de la division euclidienne de 12^1527 par 5.
4)a)Démontrer que quelque soit n appartient N, 5^(n+6) congru 5^n [7]
b) ........................................................................, 2^(n+6) congru 2^n[7]
c)Trouver sans l'aide de la calculatrice, le reste de la division euclidienne de
19^52 x23^41 par 7.
Où j'en suis dans mon devoir
Pour moi :
Exercice 1
4)a^3+3b^3 = 3^3+3 x 5^3 = 402
402=17 x 23 + 11 donc 402 congru 11 [7] et 11 est le reste de la divison euclidienne
Exercice 2
1) Je ne sais pas quel procédé utilisait/
2)De même que pour la 1)
3a) Je ne sais pas comment faire
b) 12 = 5 x 2 +2
12^4 = 20736 congrue 1 [5] car 20736 = 5 x 4147 + 1
et 1527 = 5 x 305 + 2
Donc (12^4)^305 congrue 1^305 [5]
Et je ne sais pas comment continuer
4) a) et b) Pareil que au dessus, je ne sais pas quelle procédure utilisé.
c)Étant donner a multiplication je ne vois pas comment appliquer ma démarche.
Merci pour votre aide !
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1) il faut utiliser les congruences je penseles 5 carrés sont 0 -1 - 4 - 9 -16
n≡0 [5] n²≡0 [5] le reste est donc 0
n≡1 [5] n²≡1 [5] le reste est donc 1
n≡2 [5] n²≡4 [5] le reste est donc 4
n≡3 [5] n²≡4 [5] le reste est donc 4
n≡4 [5] n²≡1 [5] le reste est donc 1
2) les 7 cubes sont 0 -1 -8 -27 -64 -125 -216
n≡0 [7] n³≡0 [7] le reste est donc 0
n≡1 7] n³≡1 [7] le reste est donc 1
n≡2 [7] n³≡1 [7] le reste est donc 1
n≡3 [7] n³≡6 [7] le reste est donc 6
n≡4 [7] n³≡1 [7] le reste est donc 1
n≡5 [7] n³≡6 [7] le reste est donc 6
n≡6 [7] n³≡6 [7] le reste est donc 6
3) 2^(n+4) = 2^n *16 or 16≡1 [5]
b) 12≡2 il faut donc étudier les puissances de 2 mais modulo 4
puisque 2^(n+4) ≡ 2^n
1527≡3 [4] donc 2^1527 ≡ 2^3 [5] et 8≡3 [5]
je dirai que 12^1527 ≡ 3 [5]
5^6 c'est comme 25^3 et 25≡ 4 [7] or on voit dans les cubes que
le cube de 25 est congru à 1 mod 7
d'où
5^(n+6)= 5^n * 5^6 est bien congru à 5^n
pareil 2^6 = 4^3 et donc 2^6 congru à 1 mod 7
donc 2^(n+6) ≡2^n
la dernière question je pense qu'il faut utiliser la précédente
19 ≡5 [7] et 52 ≡ 4 [6] donc 19^52 ≡ 5^4 ≡2 [7] je crois
23≡2 [7] et 41 ≡ 5 [6] donc 23 ^41 ≡2^5 [7]
le nombre serait congru à 2*2^5 = 2^6 modulo7 donc à 4^3 donc à 1
mais c'est pas certain !!