Soit Un, la suite definie par U0=1 et pour tout naturel n, U(n+1)= (3Un +2)/4
1) Démontrer par récurrence que pour tout n, 0<Un<2 .
Je l'ai fait mais à la fin je trouve 1/2<Un<2
2)Démontrer par récurence que, pour tout n, Un=2-0,75^n
Là , j'ai aucune piste .
Merci à ceux qui regarderons et repondrons! :)
1) Démontrer par récurrence que pour tout n, 0<Un<2 .
Je l'ai fait mais à la fin je trouve 1/2<Un<2
2)Démontrer par récurence que, pour tout n, Un=2-0,75^n
Là , j'ai aucune piste .
Merci à ceux qui regarderons et repondrons! :)
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Hypothèse de récurrence
0< Uk < 2
0<3Uk<6
2<3Uk+2<8
1/2<(3Uk+2)/4<2
à fortiori
0<1/2<Uk+1<2
0<Uk+1<2
Conclure
Pour le 2 :
Uo=1= 2 - 0,75^¨0 = 2 - 1 = 1 P vraie au premier rang
On suppose que pour k entier fixé et quelconque on ait
Uk= 2- 0,75^k
3Uk=3 x (2 - 0,75^k) = 6 - 3 x 0.75 ^k
3Uk+2 = 8 - 3 x 0,75^k
(3Uk+2)/4= 2 - 3/4 x 0,75^k = 2 - 0,75^k+1
Uk+1 = 2 - 0,75^k+1
Ce qui montre que la propriété est héréditaire
Conclure