Bonjour, je ne comprend pas cette exo On considère les points A(2;−1), B(0;6) et C(5/3 ;3). Détermi.... Pergunta de ideia dedim1469

December 2020 1 64 Report

Bonjour, je ne comprend pas cette exo

On considère les points A(2;−1), B(0;6) et C(5/3 ;3). Déterminer une équation du cercle :

1. de rayon [BC] et de centre B.
2. passant par A et de centre C.
3. de diamètre [AB] : le point C appartient-il à ce cercle ?

Pourriez vous m’expliquer svp ?

Merci d’avance.

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godetcyril

Réponse : Bonjour,

1) Par définition, une équation du cercle de centre B et de rayon [BC] est:

$(x-0)^{2}+(y-6)^{2}=BC^{2}$

Il nous faut calculer BC²:

$BC^{2}=\left(\frac{5}{3}-0\right)^{2}+(3-6)^{2}=\frac{25}{9}+9=\frac{25+81}{9}=\frac{106}{9}$ .

Donc l'équation du cercle de centre B et de rayon [BC] est:

$x^{2}+(y-6)^{2}=\frac{106}{9}$

2) Le cercle passant par A et de centre C, a pour rayon [CA], et donc de centre C.

Donc l'équation de ce cercle est:

$\left(x-\frac{5}{3}\right)^{2}+(y-3)^{2}=CA^{2}$

Il nous faut calculer CA²:

$CA^{2}=\left(2-\frac{5}{3}\right)^{2}+(-1-3)^{2}=\left(\frac{1}{3}\right)^{2}+(-4)^{2}=\frac{1}{9}+16=\frac{1+144}{9}=\frac{145}{9}$ .

Donc l'équation du cercle passant par A et de centre C est:

$\left(x-\frac{5}{3}\right)^{2}+(y-3)^{2}=\frac{145}{9}$

3) Le cercle de diamètre [AB] a pour centre le milieu de [AB], on l'appelle I, et de rayon [IB] ou [IA].

On calcule d'abord les coordonnées I du milieu de [AB], on appelle $x_{I}$ , son abscisse et $y_{I}$ , son ordonnée:

$x_{I}=\frac{2+0}{2}=1\\ y_{I}=\frac{-1+6}{2}=\frac{5}{2}$

Donc $I\left(1;\frac{5}{2}\right)$ .

Il nous faut calculer le carré d'un rayon du cercle, donc par exemple IB²:

$IB^{2}=(0-1)^{2}+\left(6-\frac{5}{2}\right)^{2}=1+\left(\frac{12-5}{2}\right)^{2}=1+\left(\frac{7}{2}\right)^{2}=1+\frac{49}{4}=\frac{4+49}{4}=\frac{53}{4}$

Donc une équation du cercle de diamètre [AB] est:

$(x-1)^{2}+(y-\frac{5}{2})^{2}=\frac{53}{4}$

Le point C appartient à ce cercle si et seulement si IC²= $\frac{53}{4}$ .

Calculons donc IC²:

$IC^{2}=(\frac{5}{3}-1)^{2}+(3-\frac{5}{2})^{2}=(\frac{5-3}{3})^{2}+(\frac{6-5}{2})^{2}=(\frac{2}{3})^{2}+(\frac{1}{2})^{2}=\frac{4}{9}+\frac{1}{4}=\frac{16+9}{36}=\frac{25}{36}$

Donc $IC^{2} \ne \frac{53}{4}$ , donc C n'appartient pas au cercle de diamètre [AB].

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