Bonjour s'il vous plaît j'ai besoin d'aide pour cet exercice.
Dans le plan rapporté à un repère orthonormé (o ; vecteur i ; vecteur j). On donne les points A; B; C définis par : A(5 ; 6) ; B(-3 ; 2) ; C(0;-4).
1) Calcule les coordonnées des vecteurs AB, AC, BC .
2) Détermine les coordonnées du point D image de C par l'homothétie de centre b et de rapport K= 1/3.
3) Trouve une équation de la médiatrice de BC.
5) Détermine le centre J du cercle circonscrit au triangle ABC et calcule le rayon de ce cercle.
Dans le plan rapporté à un repère orthonormé (o ; vecteur i ; vecteur j). On donne les points A; B; C définis par : A(5 ; 6) ; B(-3 ; 2) ; C(0;-4).
1) Calcule les coordonnées des vecteurs AB, AC, BC .
2) Détermine les coordonnées du point D image de C par l'homothétie de centre b et de rapport K= 1/3.
3) Trouve une équation de la médiatrice de BC.
5) Détermine le centre J du cercle circonscrit au triangle ABC et calcule le rayon de ce cercle.
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Réponse:
1. Les coordonnées des vecteurs AB, AC et BC sont respectivement :
AB = B - A = (-3-5, 2-6) = (-8, -4)
AC = C - A = (0-5, -4-6) = (-5, -10)
BC = C - B = (0-(-3), -4-2) = (3, -6)
2. Pour trouver les coordonnées du point D image de C par l'homothétie de centre B et de rapport K=1/3, on utilise la formule suivante :
BD = K * BC
D = B + BD
Avec K=1/3 et BC = (3, -6), on a :
BD = (1/3)*BC = (1, -2)
D = B + BD = (-3+1, 2-2) = (-2, 0)
Donc les coordonnées de D sont (-2, 0).
3. La médiatrice de BC est la droite qui passe par le milieu de BC et qui est perpendiculaire à BC. Le milieu de BC est le point M de coordonnées ((-3+0)/2, (2-4)/2) = (-3/2, -1). Le coefficient directeur de BC est -6/3=-2. Donc le coefficient directeur de la médiatrice de BC est 1/2 (car les deux droites sont perpendiculaires). On a donc une équation de la forme y = 1/2 * x + b. Pour trouver b, on utilise le fait que la médiatrice passe par le point M(-3/2, -1) :
-1 = 1/2 * (-3/2) + b
b = -1/4
Donc l'équation de la médiatrice de BC est y = 1/2 * x - 1/4.
4. Le centre J du cercle circonscrit au triangle ABC est le point d'intersection des médiatrices de deux côtés du triangle. La médiatrice de AB passe par le point M(1/2, 1) (milieu de AB) et a pour coefficient directeur 2. Son équation est donc y = 2x - 2. La médiatrice de AC passe par le point N(5/2, 1) (milieu de AC) et a pour coefficient directeur -1/5. Son équation est donc y = (-1/5)x + 13/5. On résout le système formé par ces deux équations pour trouver le point J :
2x - 2 = (-1/5)x + 13/5
11/5 x = 23/5
x = 23/55
y = 2x - 2 = -9/55
Donc les coordonnées du centre J sont (23/55, -9/55). Pour trouver le rayon du cercle circonscrit, on calcule la distance entre J et l'un des sommets du triangle, par exemple A :
R = AJ = sqrt((23/55 - 5)^2 + (-9/55 - 6)^2) = sqrt(1196)/55.
Explications étape par étape:
1) Les coordonnées des vecteurs AB, AC et BC sont données par :
AB = B - A = (-3 - 5, 2 - 6) = (-8, -4)
AC = C - A = (0 - 5, -4 - 6) = (-5, -10)
BC = C - B = (0 - (-3), -4 - 2) = (3, -6)
2) Pour trouver les coordonnées du point D image de C par l'homothétie de centre B et de rapport K=1/3, on peut utiliser la formule suivante :
BD = K * BC
où BD est le vecteur joignant B à D, et K est le rapport de l'homothétie. En remplaçant les coordonnées de BC et K, on obtient :
BD = (1/3) * (3, -6) = (1, -2)
Les coordonnées de D sont donc données par :
D = B + BD = (-3, 2) + (1, -2) = (-2, 0)
Ainsi, le point D a pour coordonnées (-2, 0).
3) La médiatrice de BC passe par le milieu de BC, qui a pour coordonnées :
M = (B + C) / 2 = ((-3, 2) + (0, -4)) / 2 = (-3/2, -1)
La médiatrice de BC est donc la droite perpendiculaire à BC passant par M. Le vecteur directeur de BC est BC = (3, -6), donc le vecteur directeur de la médiatrice est perpendiculaire à BC, c'est-à-dire :
v = (6, 3)
L'équation de la médiatrice est donc de la forme y = ax + b, avec :
a = 3/6 = 1/2
b = -a * (-3/2) - (-1) = 5/4
L'équation de la médiatrice de BC est donc y = (1/2)x + 5/4.
4) Le cercle circonscrit à ABC a son centre J situé à l'intersection des médiatrices de ses côtés. On peut trouver l'équation de la médiatrice de AB en utilisant la même méthode que précédemment. Le milieu de AB est :
N = (A + B) / 2 = ((5, 6) + (-3, 2)) / 2 = (1, 4)
Le vecteur directeur de AB est AB = (-8, -4), donc le vecteur directeur de la médiatrice de AB est perpendiculaire à AB, c'est-à-dire :
u = (4, -8)
L'équation de la médiatrice de AB est donc de la forme y = cx + d, avec :
c = -8/4 = -2
d = -c * 1 + 4 = 6
L'équation de la médiatrice de AB est donc y = -2x + 6.
L'intersection des médiatrices de AB et BC est le centre J du cercle circonscrit. On peut résoudre le système formé par les deux équations de médiatrices :
y = (1/2)x + 5/4
y = -2x + 6
En égalisant les deux expressions de y, on obtient :
(1/2)x + 5/4 = -2x + 6
(5/2)x = 19/4
x = 19/10
En remplaçant dans l'une des équations de médiatrice, on trouve :
y = (1/2) * (19/10) + 5/4 = 27/10
Le centre J a donc pour coordonnées (19/10, 27/10). Pour calculer le rayon du cercle circonscrit, on peut calculer la distance entre J et l'un des sommets du triangle, par exemple A :
R = AJ = sqrt((19/10 - 5)^2 + (27/10 - 6)^2) = sqrt(221)/10
Le rayon du cercle circonscrit est donc sqrt(221)/10.