Svp g un gros blocage dans cet exercice sur les suites numériques, ce serait top si vous pouviez me débloquer.
Exercice: On considère la suite numérique (Un) définie pour tout entier naturel n par : Uo=1 et Un+1= 9/6-Un
1. a. Calculer la valeur exacte de u 1 et u 2.
b. La suite (Un) est-elle arithmétique ? Justifier la réponse.
2. On considère la suite (vn) définie pour tout n entier naturel par : Vn = 1/Un-3
On admet que pour tout entier naturel n, Vn existe, c'est-à-dire qu'aucun terme de la suite (un) ne prend la valeur 3.
a. Démontrer que (vn) est une suite arithmétique de raison -1/3
b. En déduire l'expression de vn, puis celle de Un en fonction de n.
Merci davance.
Exercice: On considère la suite numérique (Un) définie pour tout entier naturel n par : Uo=1 et Un+1= 9/6-Un
1. a. Calculer la valeur exacte de u 1 et u 2.
b. La suite (Un) est-elle arithmétique ? Justifier la réponse.
2. On considère la suite (vn) définie pour tout n entier naturel par : Vn = 1/Un-3
On admet que pour tout entier naturel n, Vn existe, c'est-à-dire qu'aucun terme de la suite (un) ne prend la valeur 3.
a. Démontrer que (vn) est une suite arithmétique de raison -1/3
b. En déduire l'expression de vn, puis celle de Un en fonction de n.
Merci davance.
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Réponse :
Explications étape par étape :
1) a)
U1 = 9/(6-Uo) = 9/(6-1) =9/5
U2 = 9/(6-U1) = 9/(6- 9/5) = 9/(30/5 -9/5)
U2= 9/(21/5) = 9*(5/21) =(9*5)/21 = 15/7
1) b)
U2-U1 = 15/7 -9/5 = (15*5 - 9*7)/7*5 = 12/35
U1-Uo = 9/5 - 1 = 9/5 -5/5 = 4/5
puisque U2-U1 différent de U1-Uo alors Un n'est pas arithmétique.
2) Vn = 1/(Un-3)
a)
Vn+1 -Vn = 1/(Un+1 -3) - 1/ (Un -3)
Vn+1 -Vn = 1/(9/(6-Un) -3) - 1/ (Un -3)
Vn+1 -Vn = 1/ (9- 3(6-Un))/6-Un) - 1/(Un-3)
Vn+1 -Vn = 1/ (-9 +3Un)/(6-Un) - 1/(Un-3)
Vn+1 -Vn = (6-Un)/(-9 +3Un) - 1/(Un-3)
Vn+1 -Vn = (6-Un)/ 3( Un -3) -1/(Un -3)
Vn+1 -Vn = (6-Un)/ 3(Un -3) - 3/3(Un-3)
Vn+1 -Vn = (6 - Un -3)/ 3(Un-3)
Vn+1 -Vn = (3- Un)/3(Un-3) = -(Un-3)/3(Un-3)
Vn+1 -Vn= -1/3
donc Vn est une suite arithmétique de raison -1/3 et de 1er terme Vo = 1/(Uo-3) donc Vo = -1/2
b) Vn = Vo +n*r (r est la raison)
Vn = -1/2 + (-1/3)*n
Vn = -1/2 -n/3
pour Un: on a Vn = 1(Un-3)
donc Vn* (Un -3) = 1
Vn*Un - 3Vn = 1
Un = (3Vn +1)/Vn
on remplace Vn par la valeur trouvée ci dessus et on trouve Un
donc Un = (3 (-1/2 -n/3 ) +1)/ (-1/2 -n/3)
Un = (-3/2 -n +1)/(-1/2 -n/3)
Un = (-1/2 - n)/ (-1/2 -n/3).
C'est trop long !!!!!