Bonjour , je suis en terminale et j'ai des soucis avec un exercice de mathématiques dont voici l'énoncé: On considère la suite (Un) définie par Uo =1 et pour tout entier n : Un + 1 = 1/4 Un + n
1. Calculer U1, U2 et U3 ( j 'ai trouvé U1= 1/4 , U2= 17/16 et U3= 145/64)
2. On considère la suite (Wn) arithmétique de raison 4/3 et de premier terme Wo= - 16/9
a) Exprimer Wn en fonction de n pour tout entier naturel n ( ma réponse : Wn = -16/9 + 4/3 n )
b) Montrer que la suite (Wn ) vérifie , pour tout entier n ,la relation de récurrence suivante :
Wn + 1= 1/4 Wn + n.
3. On pose pour tout entier n : Vn= Un - Wn
a) Montrer que la suite est géométrique de raison 1/4 ( j'ai exprimé Vn+1 =(Un + 1) - ( Wn + 1 ) donc Vn + 1 = 1/4 Un + n - (1/4 Wn + n ) C'est une suite géométrique de raison 1/4 car Vn + 1= 1/4 ( Un - Wn )
b) Exprimer Vn en fonction de n puis en déduire que , pour tout n, Un = 25/9 x (1/4) puissance n - 16/9 +4/3 n ( mes calculs: Vo = Uo -Wo
=1 + 16/9 = 25/9
Vn = 25/9 X( 1/4) puissance n
Un = Vn +Wn
=25/9 X (1/4) puissance n - 16/9 + 4/3 n
4. On pose , pour tout entier n : Sn = Uo + U1 + ....+ Un.
Prouver que Sn = 100/27 x ( 1 - (1/4) puissance n+1 ) + ( n +1 ) ( -16 /9 + 2/3 n).
Voilà , j'espère ne rien avoir oublié cette fois....Je vous remercie par avance de l'aide que vous voudrez bien m'apporter ...
1. Calculer U1, U2 et U3 ( j 'ai trouvé U1= 1/4 , U2= 17/16 et U3= 145/64)
2. On considère la suite (Wn) arithmétique de raison 4/3 et de premier terme Wo= - 16/9
a) Exprimer Wn en fonction de n pour tout entier naturel n ( ma réponse : Wn = -16/9 + 4/3 n )
b) Montrer que la suite (Wn ) vérifie , pour tout entier n ,la relation de récurrence suivante :
Wn + 1= 1/4 Wn + n.
3. On pose pour tout entier n : Vn= Un - Wn
a) Montrer que la suite est géométrique de raison 1/4 ( j'ai exprimé Vn+1 =(Un + 1) - ( Wn + 1 ) donc Vn + 1 = 1/4 Un + n - (1/4 Wn + n ) C'est une suite géométrique de raison 1/4 car Vn + 1= 1/4 ( Un - Wn )
b) Exprimer Vn en fonction de n puis en déduire que , pour tout n, Un = 25/9 x (1/4) puissance n - 16/9 +4/3 n ( mes calculs: Vo = Uo -Wo
=1 + 16/9 = 25/9
Vn = 25/9 X( 1/4) puissance n
Un = Vn +Wn
=25/9 X (1/4) puissance n - 16/9 + 4/3 n
4. On pose , pour tout entier n : Sn = Uo + U1 + ....+ Un.
Prouver que Sn = 100/27 x ( 1 - (1/4) puissance n+1 ) + ( n +1 ) ( -16 /9 + 2/3 n).
Voilà , j'espère ne rien avoir oublié cette fois....Je vous remercie par avance de l'aide que vous voudrez bien m'apporter ...
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