3) Nos itens abaixo, desenhe a região R e determine a área dessa região. a) R é a região limitada pelo eixo x e a curva y = - x ^ 2 + 4x - 3 b) Ré a região limitada pelas curvas y = x²ey=-x²+4.
e aplicamos essa equação aos dois valores das raízes da equação original, fazendo a diferença entre os resultados, portanto, a área delimitada pela equação original, será,
No item b temos duas parábolas, a primeira y=x², com o ponto mínimo em (0,0) e segunda, y=-x²+4 com máximo em (0,4). Precisamos encontrar, primeiro, os pontos em que as duas se cruzam ou se igualam, ou seja, os pontos em que,
x²=-x²+4
2x²=4
x²=4/2
x²=2
x=±√2
Ou seja, as duas equações se igualam nos pontos em que x=-√2 e x=+√2.
Portanto, a integral da diferença entre as duas será calculadas de -√2 a +√2.
Agora, fazemos a diferença entre as duas equações,
-x²+4-x² = -2x²+4
Fazendo a integral do módulo da equação resultante, temos,
∫|-2x²+4| dx = |(-2x³)/3 +4x)| dx
Para calcular a área, aplicando a diferença entre os dois pontos, temos,
A=|-2*√2³/3 +4√2 -(-2*(-√2)³/3 +4√2)|
A= |-2*√2³/3 +4√2+2*(-√2)³/3 -4√2|
A= |-2*√2³/3 +2*(-√2)³/3|
A= |-4√2³/3|
A= 4√2³/3
A = 3,77
Saiba mais sobre Área definida por Integral, em: https://brainly.com.br/tarefa/48862081
Lista de comentários
A área da região limitada pela curva y=-x²+4x-3 e pelo eixo X é igual a 1,333 u. a. vide anexo itemA
A área da região limitada pelas curvas y = x² e y=-x²+4 é igual a 3,77 u. a. Vide anexo itemB
Cálculo da área através da integral
No item a, é possível calcular a área limitada pelo eixo X e a curva y = -x²+4x-3. Primeiro, encontramos as raízes da curva y, fazendo y=0, temos,
-x²+4x-3=0
Δ=4²-4*(-1)*(-3)
Δ=16-12
Δ=4
√Δ=√4=2
x1=(-4+2)/-2
x1=-2/-2
x1=1
x2=(-4-2)/-2
x2=-6/-2
x2=3
Para se encontrar a área definida pela função y=-x²+4x-3,
encontramos a integral dessa função e calculamos a integral, no intervalo definido pelas raízes x1 e x2
[tex]\int\limits^3_1 {-x^{2} +4x-3} \, dx[/tex]
Ao desenvolver a integral da equação, encontramos,
[tex]\frac{x^{3} }{3} +\frac{4x^{2} }{2} -3xdx\\[/tex]
e aplicamos essa equação aos dois valores das raízes da equação original, fazendo a diferença entre os resultados, portanto, a área delimitada pela equação original, será,
[tex]A = -\frac{3^{3} }{3} +4\frac{3^{2} }{2} -3*3 -(\frac{1^{3} }{3} +4\frac{1^{2} }{2} -3*1)\\ A=-\frac{27}{3} +4*\frac{9}{2} -9-(-\frac{1}{3} +2-3)\\A=-9+18-9-(-\frac{1}{3} -1)\\A=0+1\frac{1}{3}\\A =1,3333\\[/tex]
No item b temos duas parábolas, a primeira y=x², com o ponto mínimo em (0,0) e segunda, y=-x²+4 com máximo em (0,4). Precisamos encontrar, primeiro, os pontos em que as duas se cruzam ou se igualam, ou seja, os pontos em que,
x²=-x²+4
2x²=4
x²=4/2
x²=2
x=±√2
Ou seja, as duas equações se igualam nos pontos em que x=-√2 e x=+√2.
Portanto, a integral da diferença entre as duas será calculadas de -√2 a +√2.
Agora, fazemos a diferença entre as duas equações,
-x²+4-x² = -2x²+4
Fazendo a integral do módulo da equação resultante, temos,
∫|-2x²+4| dx = |(-2x³)/3 +4x)| dx
Para calcular a área, aplicando a diferença entre os dois pontos, temos,
A=|-2*√2³/3 +4√2 -(-2*(-√2)³/3 +4√2)|
A= |-2*√2³/3 +4√2+2*(-√2)³/3 -4√2|
A= |-2*√2³/3 +2*(-√2)³/3|
A= |-4√2³/3|
A= 4√2³/3
A = 3,77
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