Resposta: O rendimento desta máquina de Carnot é igual a 0,666 ou em porcentagem 66,6%

Introdução: As máquinas de Carnot são máquinas cíclicas ideais que sempre foram assiduamente estudadas devido à sua relevância histórica, mas sobretudo porque ajudam a compreender melhor certos aspectos importantes da termodinâmica.

De acordo com o físico francês Sadi Carnot, a eficiência térmica de uma máquina térmica ideal em função da temperatura de seus bolsões quentes e frios:

[tex]\eta =\dfrac{T_Q - T_F}{T_Q}[/tex]

Esta equação demonstra que maiores níveis de eficiência são obtidos com um maior gradiente de temperatura entre os fluidos quente e frio. Na prática, quanto mais quente o fluido, maior a eficiência do motor.

A fórmula para o desempenho de uma máquina térmica não só pode ser encontrada escrita desta forma, como existem mais formas de escrever esta fórmula e uma das mais famosas é:

[tex]\eta =1-\dfrac{T_F}{T_Q}[/tex]

Mas isso pode ser um pouco confuso, pois poderíamos pensar que ambas as fórmulas não são iguais porque não são escritas da mesma forma, e poderíamos ter a dúvida de qual é a fórmula correta? Aí vem uma resposta, ambas as fórmulas estão corretas pois vamos lembrar que a subtração de duas frações com o mesmo denominador (número que está abaixo de uma fração) é igual a subtração dos numeradores (número que está acima de uma fração).

Então a subtração entre o foco quente e frio pode ser traduzida como a subtração de duas frações com o mesmo denominador, sabendo que o foco quente é o denominador, a subtração de frações seria:

[tex]\eta =\dfrac{T_Q}{T_Q} -\dfrac{ T_F}{T_Q}\\\\ \eta = 1 -\dfrac{T_F}{T_Q}[/tex]

Queremos encontrar a eficiência de uma máquina de Carnot em operação cujas temperaturas são iguais a 27°C e 627°C.

Primeiro vamos identificar a temperatura do foco frio e quente, isso é algo simples pois como o nome diz, o foco frio será aquele com a menor temperatura e o foco quente será aquele com a temperatura mais alta. Assim que nossos dados forem identificados, vamos anotá-los:

[tex]\begin{cases}\sf \eta =?\\ \sf T_F = 27~^oC\\\sf T_Q = 627~^oC\end{cases}[/tex]

Agora podemos processar para encontrar a resposta em relação ao nosso problema, mas espere vamos observar as unidades com as quais a temperatura é encontrada, podemos ver que a temperatura está na escala Celsius, mas não deve estar em Celsius e sim em Kelvin.

Para ir de Celsius para Kelvin vamos somar nossa temperatura em Celsius por 273°K e assim podemos obter a temperatura representada em graus Kelvin.

[tex]^o K= 27~^oC+273 ~^oK\\\\ ^o K=300~^o K[/tex]

[tex]^o K = 627~^o C+273~^o K\\\\ ^o K=900~^o K[/tex]

Uma vez encontrada a temperatura do foco quente e frio representado na escala kelvin, passamos a encontrar o desempenho térmico da máquina de Carnot, substituindo nossos novos dados podemos ver que o desempenho da máquina de Carnot é calculado pela expressão:

[tex]\eta = 1 -\dfrac{300~^o\not\!\!K}{900~^o\not\!\!K}\\\\ \eta =1 -0,33\overline{3}\\\\ \boxed{\eta \approx 0,666}[/tex]

Podemos ver que o desempenho da máquina de Carnot é aproximadamente igual a 0,666 mas vamos dar uma boa olhada, esse resultado está em decimal e como está em decimal podemos passar para porcentagem e para realizar este procedimento podemos multiplicar nosso resultado em decimal em 100%. Fazendo isso temos como resultado:

[tex]\eta \approx 0,666\times 100\%\\\\ \boxed{\eta \approx 66,6\%}[/tex]