Réponse :

U1 = 1/2

pour tout entier naturel  n ≥ 1 ;   Un+1 = Un  + 1/(n+1)(n+2)

1) calculer U2 ; U3 et U4  en donnant les résultats sous forme de fraction irréductible

U2 = U1 + 1/(1+1)(1+2) = 1/2 + 1/6 = 4/6 = 2/3

U3 = U2 + 1/(2+1)(2+2) = 2/3 + 1/12 = 9/12 = 3/4

U4 = U3 + 1/(3°1)(3+2) = 3/4 + 1/20 = 16/20 = 4/5

2) a) quelle conjecture peut-on faire sur l'expression de Un en fonction de n

pour tout entier naturel  n ≥ 1 , on a  Un = n/n+1

b) démontrer cette conjecture par récurrence

    * initialisation : vérifions que pour n = 1  ,  P(1) est vrai

                   U1 = 1/(1+1) = 1/2  = 1/2  donc  P(1) est vraie

    * hérédité : supposons que pour tout entier naturel n ≥ 1 ; P(n) est vraie

       et montrons que P(n+1) est vraie

         Un+1 = Un + 1/(n+1)(n+2)

                  = n/(n+1) +  1/(n+1)(n+2)

                  = (n(n+2) + 1)/(n+1)(n+2)

                  = (n²+2n+1)/(n+1)(n+2)

                  = (n+1)²/ (n+1)(n+2)

                  = (n+1)/(n+2)    donc  P(n+1) est vraie

      * conclusion : la propriété est vraie pour n = 1  et héréditaire à partir de rang, donc elle vraie pour tout entier naturel non nul  

Explications étape par étape :