Voici le programme de calcul que le professeur de Gaston lui a donné à étudier :
Choisir un nombre
Calculer son carré
Ajouter le double du nombre de départ
Ajouter 1
Gaston affirme que l'on ne peut pas obtenir un résultat final négatif.
1. Appliquer ce programme de calcul aux nombres suivants en détaillant toutes les étapes
de calculs :
a) 12
b) -5
c) 3/2
d)1/3
2. Que peut-on conjecturer ? (Conjecturer signifie émettre une hypothèse).
3. On appelle x le nombre choisi au départ. Qu'obtient-on à la fin du programme ?
4. Gaston a-t-il raison ? Justifier.
Choisir un nombre
Calculer son carré
Ajouter le double du nombre de départ
Ajouter 1
Gaston affirme que l'on ne peut pas obtenir un résultat final négatif.
1. Appliquer ce programme de calcul aux nombres suivants en détaillant toutes les étapes
de calculs :
a) 12
b) -5
c) 3/2
d)1/3
2. Que peut-on conjecturer ? (Conjecturer signifie émettre une hypothèse).
3. On appelle x le nombre choisi au départ. Qu'obtient-on à la fin du programme ?
4. Gaston a-t-il raison ? Justifier.
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Réponse :Pour comprendre le programme de calcul et répondre aux questions, suivez les étapes pour chaque nombre donné :
a) 12 :
Choisir un nombre : 12
Calculer son carré : 12^2 = 144
Ajouter le double du nombre de départ : 144 + (2 * 12) = 168
Ajouter 1 : 168 + 1 = 169
b) -5 :
Choisir un nombre : -5
Calculer son carré : (-5)^2 = 25 (car le carré d'un nombre est toujours positif)
Ajouter le double du nombre de départ : 25 + (2 * -5) = 25 - 10 = 15
Ajouter 1 : 15 + 1 = 16
c) x (nombre quelconque) :
Choisir un nombre : x
Calculer son carré : x^2
Ajouter le double du nombre de départ : x^2 + (2 * x) = x^2 + 2x
Ajouter 1 : x^2 + 2x + 1
Conjecture : D'après les résultats obtenus pour a) et b), il semble que quel que soit le nombre choisi au départ (positif ou négatif), le résultat final après ces étapes de calcul est toujours un carré parfait (un nombre positif).
À la fin du programme, en utilisant x comme le nombre choisi au départ, nous obtenons x^2 + 2x + 1.
Gaston a raison. La conjecture indique que quel que soit le nombre choisi au départ, le résultat final sera toujours un carré parfait (un nombre positif). Cela peut être justifié en notant que le carré d'un nombre est toujours positif ou nul, le double d'un nombre est toujours positif ou nul, et l'ajout de 1 à un nombre positif ou nul est toujours positif. Par conséquent, le résultat final sera toujours positif ou nul, ce qui signifie que Gaston a raison lorsque qu'il affirme que l'on ne peut pas obtenir un résultat final négatif en suivant ce programme de calcul.
Explications étape par étape :