Réponse:

1. Pour placer les points E et F, nous utilisons les relations de proportionnalité données.

AE = -1/2AD signifie que le vecteur AE est égal à la moitié du vecteur AD, mais d'une direction opposée. Donc, nous partons du point A et nous le déplaçons vers le point E en prenant la moitié de la longueur du segment AD, mais dans la direction opposée.

BF = 2/3BA signifie que le vecteur BF est égal aux deux tiers du vecteur BA. Donc, nous partons du point B et nous le déplaçons vers le point F en prenant les deux tiers de la longueur du segment BA.

2. Utilisons les propriétés des vecteurs dans un parallélogramme pour montrer les égalités :

Dans un parallélogramme, les diagonales se coupent en leur milieu. Donc, le vecteur OC est égal à la moitié de la somme des vecteurs AB et AD.

OC = 1/2(AB + AD)

Or, la droite (CE) est parallèle et de même longueur que la droite (AB), donc le vecteur CE est égal au vecteur AB.

CE = AB

En utilisant cette égalité, nous pouvons réécrire l'équation précédente :

OC = 1/2(CE + AD) - 3/2AD

Donc,

CE = -AB - 3/2AD

De la même manière, les parallélogrammes ont un centre de symétrie, donc le vecteur OF est égal à la moitié de la somme des vecteurs AB et AD, mais dans la direction opposée.

OF = -1/2(AB + AD)

Or, la droite (CF) est parallèle et de même longueur que la droite (AB), donc le vecteur CF est égal au vecteur AB, mais dans la direction opposée.

CF = -AB

Donc,

CF = -2/3AB - AD

3. Pour déterminer le réel a tel que CF = aCE :

Nous égalons les expressions de CF et CE :

-2/3AB - AD = a(AB)

Nous pouvons simplifier cette équation :

-2/3 - AD = a - 2/3

En comparant les coefficients des termes AB et AD, nous obtenons :

-2/3 = a - 2/3

Donc, a = -2/3.

4. Pour déterminer si les points C, E et F sont alignés, nous vérifions si les vecteurs CE et CF sont colinéaires.

Si les vecteurs CE et CF sont colinéaires, cela signifierait qu'ils sont proportionnels et donc qu'ils sont alignés.

En comparant les expressions de CE et CF :

CE = -AB - 3/2AD

CF = -2/3AB - AD

Nous pouvons voir que ce sont des expressions différentes et qu'ils ne sont pas colinéaires. Donc, les points C, E et F ne sont pas alignés.

5. Pour montrer que (ED+EB)=2EO, nous utilisons les propriétés des vecteurs dans un parallélogramme.

Dans un parallélogramme, les diagonales se coupent en leur milieu. Donc, le vecteur OE est égal à la moitié de la somme des vecteurs ED et EB.

OE = 1/2(ED + EB)

Or, les droites (ED) et (EB) sont de même longueur et de même direction que les diagonales CE et BA respectivement, donc les vecteurs ED et EB sont égaux aux vecteurs CE et BA. Donc,

ED = CE

EB = BA

En utilisant ces égalités, nous pouvons réécrire l'équation précédente :

OE = 1/2(CE + BA)

Mais dans un parallélogramme, les vecteurs diagonaux sont égaux en longueur et de direction opposée, donc BA est égal à -AD. Donc,

OE = 1/2(CE - AD)

Et nous avons montré que CE = -AB - 3/2AD. Donc,

OE = 1/2(-AB - 3/2AD - AD)

En simplifiant, nous obtenons :

OE = 1/2(-AB - 5/2AD)

Donc,

2OE = -AB - 5/2AD

Finalement, nous voyons que (ED+EB)=2EO.