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N.B. : sauf indication contraire, comprendre :

         AB comme le vecteur AB,

    et    0 comme le vecteur 0.

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On considère un cercle de centre O, et 3 points A,B et C sur ce cercle formant un triangle quelconque. 
On appelle A' le milieu de [BC],B' le milieu de [CA],C' le milieu de [AB].

Partie A

1)   Faire une figure.

      Cf. fichier joint

2)   Que représentent pour ABC le point O ainsi que les droites (OA'),(OB'), et (OC') ?

      Le point O étant le centre du cercle circonscrit au triangle ABC représente le point où concourent les trois médiatrices des côtés du triangle ABC, c'est à dire le point d'intersection des droites (OA'),(OB'), et (OC').

3)   Montrer que pour tout point M,  (1)   MB + MC  =  2 MA'

                                             Et   (2)   MA + MB  =  2 MC'

      Puisque A' est le milieu de [BC], on a :    A'B  =  CA'  =  -A'C

         MB + MC  =  MA' + A'B + MA' + A'C
                         =  2 MA' + A'B + A'C
                         =  2 MA' - A'C + A'C

                         =  2 MA'

      Par le même raisonnement, on prouve que :
  

          MA + MB  =  2 MC'

Partie B

On considère le centre de gravité G de ABC et le point P tel que :    AP  = 2/3 AA'

4)   Montrer que :   AB + AC  =  2 AA'    puis que    PA + PB + PC  =  0

          AB + AC  =  2 AA + A'B + A'C

                         =  2 AA' - A'C + A'C
                         =  2 AA'

         Et :

         PA + PB + PC  =  PA + PA + AB + PA + AC
                                 =  3 PA + 2 AA'
                                 =  3 × 2/3 A'A + 2 AA'
                                 =  2 A'A + 2 AA'
                                 =  0

5)   Montrer que PA + PB  =  2 PC'   puis que   PC  = -2 PC ' 

         PA + PB  =  PC' + C'A + PC' + C'B
                        =  2 PC' + C'A + C'B
                        =  2 PC' + C'A - C'A
                        =  2 PC'

         PC  =  PA + PB + PC - PA - PB
                =  0 - 2 PC'

                = -2 PC'

6)  En deduire que P et G sont confondus,

     puis que G vérifie : GA+GB + GC  =  0

                       et        3 OG  =  OA + OB + OC

         Puisque   PC  =  -2 PC',  on a :   CP  =  2/3 CC'.

        Or le centre de gravité se trouve par définition à cet endroit.

        Donc P et G sont confondus.

       Et comme PA + PB + PC = 0

             et que P et G sont le même point,             GA + GB + GC = 0

       De plus :   OA + OB + OC  =  3 OG + GA + GB + GC

                                                =  3 OG + 0

                                                =  3 OG

         Compléter la figure.

         Cf. fichier joint.

Partie C

On considère l'orthocentre H de ABC et le point K tel que:   OK  =  OA + OB + OC 

8)   Montrer que :   OB + OC  =  2 OA'   puis que   AK  =  2 OA'

      OB + OC  =  OA' + A'B + OA' + A'C

                      =  2 OA' - A'C + A'C

                      =  2 OA'

       AK  =  OK - OA

             =  OA + OB + OC - OA
             =  OB + OC
             =  2 OA'

9)   En deduire que (AK) et (BC) sont perpendiculaires,puis que (BK) et (AC) sont aussi perpendiculaires.

     Comme (OA') est la médiatrice du segment [BC], elle lui est nécessairement perpendiculaire.

     Et comme nous venons de démontrer que AK est collinéaire à OA', (AK) est donc aussi perpendiculaire à (BC)

     Par le même raisonnement, on prouve que (BK) est perpendiculaire à (AC)

10)   En deduire que K et H sont confondus, puis que H vérifie :   OH  =  OA + OB + OC  

       Comme (AK) est la perpendiculaire à (BC) passant par A et (BK) la perpendiculaire à (AC) passant par B, (AK) et (BK) sont deux droites confondues avec les hauteurs du triangle ABC.

      Or deux hauteurs d'un triangle se coupent à l'orthocentre de ce triangle.

      K est donc confondu avec H l'orthocentre du triangle ABC.

      Et comme :   OK  =  OA + OB + OC

      et que K et H sont confondus, on a aussi :    OH  =   OA + OB + OC

11)  Compléter la figure

      Cf. fichier joint.

Partie D

12)   Que peut-on conclure quant à la position de O,H et G ?

       Comme on a :   3 OG  =  OA + OB + OC

       et que               OH  =  OA + OB + OC

       les vecteurs OG et OH sont collinéaires.

       Ces deux vecteurs ayant de plus le point O en commun, sont sur la même droite.

       Donc O, H et G sont alignés dans cet ordre.