Soit m appartient à R (réel). Dans un repère orthonormé (O,I,J), on considère l'ensemble (Dm) des points M(x;y) tels que:

(3m+2)x + (1-4m)y + 2m-3 =0

1. Quelle est la nature de (Dm) pour m=1/4 ?

on obtient : (3/4+2)x + (1-4/4)y + 2/4-3 =0

donc 11/4x-5/2=0

donc 11x-10=0

donc x=10/11

(Dm) est une droite verticale

2. Déterminer une condition nécessaire et suffisante pour que (Dm) soit une droite oblique.

(Dm) est une droite oblique ssi 3m+2≠0 et 1-4m≠0

la CNS est donc m≠-2/3 et m≠1/4

3. Pour quelle valeur de m (Dm) est-elle une droite parallèle à la droite d'équation y=2x + 4 ?

on obtient (3m-2)/(4m-1)=2

donc 3m-2=8m-2

donc 5m=0

donc m=0

4. Montrer qu'il existe un unique point G appartenant à (Dm), quelle que soit la valeur de m.

(3m+2)*(10/11) + (1-4m)*(13/11) + 2m-3

=30m/11+20/11+13/11-52m/11+2m-3

=-20/11

donc pour tout réel m, (3m+2)*(10/11) + (1-4m)*(13/11) + 2m-3=-20/11

donc toutes les droites (Dm) passent par un même point G(10/11;13/11)

un graphique est donné en annexe avec les cas m=-1, m=0 , m=1