• Vamos primeiro encontrar a equação da reta que passa por A e B, a partir da fórmula da equação de uma reta: y - y1 = m(x - x1), onde m é a inclinação da reta.

m = (y2 - y1)/(x2 - x1) = (1 - 3)/(4 - 2) = -1

Substituindo um dos pontos (por exemplo, A) e a inclinação na fórmula, temos:

y - 3 = -1(x - 2)

y = -x + 5

• Agora, vamos encontrar a equação da reta perpendicular que passa por C. Como sabemos que essa reta é perpendicular à primeira, sua inclinação será o inverso negativo da inclinação da reta que passa por A e B:

m2 = 1/m = 1/1 = 1

Novamente usando a fórmula da equação de uma reta, temos:

y - 0 = 1(x - 0)

y = x

Como queremos encontrar o ponto de intersecção entre as duas retas, podemos igualar as equações de y:

-x + 5 = x

2x = 5

x = 5/2

Substituindo x de volta na equação de y, temos:

y = -x + 5 = -5/2 + 5 = 5/2

Portanto, o ponto de encontro P entre as duas rodovias é P = (5/2, 5/2).

O ponto médio entre A e B é M = [(2+4)/2, (3+1)/2] = (3, 2).

Agora, podemos calcular a distância entre P e M usando a fórmula da distância entre dois pontos:

d = sqrt((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)

d = sqrt((5/2 - 3)^2 + (5/2 - 2)^2)

d = sqrt((1/2)^2 + (1/2)^2)

d = sqrt(1/2)

d = √2/2

Portanto, a alternativa correta é A) √2/2.