Réponse :

déterminer l'ensemble des nombres réels x satisfaisant la condition donnée

a)   2 < √(4 x + 1) < 3  pour  x  dans [-1/4 ; + ∞[

2 < √(4 x + 1)  ⇔ 2² < (√(4 x + 1))²  ⇔ 4 < 4 x + 1    car  (4 x + 1) ≥ 0

⇔ 3 < 4 x  ⇔ x > 3/4

√(4 x + 1) < 3  ⇔ (√(4 x + 1))² < 3²  ⇔ 4 x + 1 < 9  ⇔ 4 x < 8  ⇔ x < 8/4

⇔ x < 2

Donc l'ensemble des nombres réels x  qui satisfait la donnée ci-dessus est    

                   S = ]3/4 ; 2[

b) √10 ≤ √(x²+ 1) ≤ 9       √(x²+1)  est définie pour tout réel x  et x²+ 1 > 0

√10 ≤ √(x²+ 1)  ⇔ (√10)² ≤ (√(x²+1))²  ⇔ 10 ≤ x²+ 1  ⇔ 9 ≤ x²

⇔ x² ≥ 9  ⇔  x ≤ - 3  ou  x ≥ 3

√(x²+1) ≤ 9  ⇔ (√(x²+1))² ≤ 9²  ⇔ x² + 1 ≤ 81  ⇔ x² ≤ 80  ⇔ -4√5  ≤  x ≤ 4√5  

l'ensemble des nombres réels x satisfaisant la condition donnée est :

                    S = ]- 4√5 ; -3]

Explications étape par étape :