Em uma escola de Ensino Médio, há 180 estudantes e, em sua maioria, são estudantes do 3º ano, uma vez que essa turma tem o dobro da quantidade de alunos do 1º ano. Em uma prova realizada com todos os alunos da escola, a média aritmética das notas foi de 88 pontos. Porém, analisando separadamente por turma, a média do 1º ano foi de 79 pontos; do 2º ano, 86 e do 3º ano, 94 pontos. Nessas condições, a quantidade de alunos do 2º ano é de (A) 1/2da quantidade do 1º ano. (B) 2/3 da quantidade do 1º ano. (C) 4/3 da quantidade do 3° ano.. 3 (D) 3/4 da quantidade do 3º ano. a
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Utilizando o conceito de média aritmética e resolvendo o sistema de equações lineares associado ao problema, concluímos que a afirmação correta é a dada na alternativa D.
Média aritmética
Como a quantidade de alunos do terceiro ano é igual a duas vezes a quantidade de alunos no primeiro ano, podemos denotar por x, y e 2x as quantidades de alunos no primeiro, segundo e terceiro ano, respectivamente. O total de alunos é igual a 180, logo, temos a equação:
[tex]x + y + 2x = 180\\3x + y = 180[/tex]
Como a média aritmética do primeiro, segundo e terceiro ano é igual a 79, 86 e 94, respectivamente, podemos utilizar a média de cada turma e a média geral para escrever a equação:
[tex]\frac{79x+86y+2\cdot 94x}{180}=88\\79x + 86y + 188x = 15840[/tex]
Dessa forma, temos o seguinte sistema de equações lineares:
[tex]\begin{bmatrix}3x+y=180\\ 79x+86y+188x=15840\end{matrix}\\\begin{bmatrix}x=\frac{180-y}{3}\\79\cdot \frac{180-y}{3}+86y+188\cdot \frac{180-y}{3}=15840\end{matrix}\\[/tex]
Simplificando essas expressões, concluímos que:
[tex]-3y+16020=15840\\y = 60[/tex]
E que:
[tex]x=\frac{180-60}{3}\\x = 40[/tex]
Portanto, o primeiro, segundo e terceiro ano possui 40, 60 e 80 alunos respectivamente. Com esse resultado calculamos as razões e concluímos que a quantidade de alunos do segundo ano é igual a:
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