Após a realização dos cálculos✍️, podemos concluir mediante ao conhecimento de equações trigonométricas que p=1✅

Identidade de prostaférese

Sendo a e b dois arcos quaisquer medidos em radianos então

[tex]\Large\boxed{\begin{array}{l}\tt sen(a)\cdot cos(b)=\dfrac{sen(a+b)+sen(a-b)}{2}\end{array}}[/tex]

Demonstração:

Sabemos do seno da soma e da diferença que

• [tex]\tt sen(a+b)=sen(a)cos(b)+sen(b)cos(a)[/tex]

• [tex]\tt sen(a-b)=sen(a)cos(b)-sen(b)cos(a)[/tex]

Somando estas duas identidades membro a membro temos:

[tex]+\underline{\begin{cases}\tt sen(a+b)=sen(a)cos(b)+\bigg/\!\!\!\!\!\!sen(b)\bigg/\!\!\!\!\!\!cos(a)\\\tt sen(a-b)=sen(a)cos(b)-\bigg/\!\!\!\!\!\!\!sen(b)\bigg/\!\!\!\!\!\!cos(a)\end{cases}}\\\\\tt sen(a+b)+sen(a-b)=2sen(a)cos(b)\\\\\tt sen(a)\cdot cos(b)=\dfrac{sen(a+b)+sen(a-b)}{2}\blacksquare[/tex]

Equação trigonométrica

Chama-se equação trigonométrica a toda equação cujo arco é desconhecido. A solução de uma equação trigonométrica depende do domínio da função . No caso do seno e do cosseno o domínio é [tex]\tt x\in\mathbb{R}[/tex].Para resolver equações trigonométricas é preciso ter o domínio básico dos arcos notáveis, da redução ao primeiro quadrante e da relação fundamental da trigonometria.

É essencial que se lembre da tabela  a seguir:

[tex]\Large\boxed{\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}&\sf0&\sf\dfrac{\pi}{6}&\sf\dfrac{\pi}{4}&\sf\dfrac{\pi}{3}&\sf\dfrac{\pi}{2}&\sf\pi&\sf\dfrac{3\pi}{2}&\sf2\pi\\\\\sf sen&\sf0&\sf\dfrac{1}{2}&\sf\dfrac{\sqrt{2}}{2}&\sf\dfrac{\sqrt{3}}{2}&\sf1&\sf0&\sf-1&\sf0\\\\\sf cos&\sf1&\sf\dfrac{\sqrt{3}}{2}&\sf\dfrac{\sqrt{2}}{2}&\sf\dfrac{1}{2}&\sf0&\sf-1&\sf0&\sf1\\\\\sf tg&\sf0&\sf\dfrac{\sqrt{3}}{3}&\sf1&\sf\sqrt{3}&\sf\not\exists&\sf0&\not\exists&\sf0\end{array}}[/tex]

✍️Vamos a resolução do exercício

Aqui nós iremos utilizar a identidade de Prostaférese em conjunto com a tabela de arcos notáveis para resolver a equação.

[tex]\Large\boxed{\begin{array}{l}\sf sen^3 (x)cos(x)-sen(x)cos^3(x)=\dfrac{1}{4}\\\\\sf sen(x)\cdot cos(x)[ sen^2(x)-cos^2(x)]=\dfrac{1}{4}\\\\\sf sen(x)\cdot cos(x)[1-2cos^2(x)]=\dfrac{1}{4}\\\\\sf sen(x)\cdot cos(x)[-cos(2x)]=\dfrac{1}{4}\\\\\sf 2\cdot sen(x)\cdot cos(x)[-cos(2x)]=\dfrac{1}{4}\cdot2\\\sf sen(2x)\cdot cos(2x)=-\dfrac{1}{2}\\\\\sf sen(2x)\cdot cos(2x)=\dfrac{sen(2x+2x)+sen(2x-2x)}{2}\\\\\sf sen(2x)cos(2x)=\dfrac{sen(4x)}{2}\end{array}}[/tex]

[tex]\Large\boxed{\begin{array}{l}\sf \dfrac{sen(4x)}{\bigg/\!\!\!\!2}=-\dfrac{1}{\bigg/\!\!\!\!2}\\\\\sf sen(4x)=-1\\\\\sf 4x=\dfrac{3\pi}{2}\\\\\sf x=\dfrac{3\pi}{8}\\\\\sf S=\bigg\{\dfrac{3\pi}{8}\bigg\}\\\\\sf p=1\end{array}}[/tex]

Note que ao resolvermos a equação no intervalo [0,2π] encontramos apenas uma solução e portanto este é o valor de p.

Saiba mais em:

brainly.com.br/tarefa/53861452

brainly.com.br/tarefa/28853289