5eme Exercices les signaux sonores Exercice 4: choriste(s) et pianiste Un chanteur veut chanter et se faire accompagner par un piano. Malheureusement le son de l'instrument est trop important et couvre la voix du chanteur. Pour être entendu, ce dernier forme une chorale. On mesure les niveaux sonores atteints à quelques mètres : niveau sonore du chanteur : 70 dB; niveau sonore de 2 choristes: 73 dB; niveau sonore de 5 choristes: 77 dB; niveau sonore du piano: 80 dB; niveau sonore de 10 choristes : 80 dB. 1. Quel niveau sonore est atteint par la voix du chanteur ? 2. Quelle augmentation du niveau sonore obtient-on quand on double le nombre de chanteurs ? Justifie ta réponse. 3. Combien de choristes doivent chanter en même temps pour atteindre le niveau sonore du piano?
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Réponse : un peu du charabia mais bon : 1. Le niveau sonore atteint par la voix du chanteur est de 70 dB.
2. Si on double le nombre de chanteurs, on obtient une augmentation de 3 dB du niveau sonore. Cette augmentation est due au fait que le nombre de sources sonores a doublé, ce qui entraîne une augmentation de la puissance sonore totale. La formule pour calculer l'augmentation du niveau sonore en fonction du nombre de sources sonores est donnée par:
$$\Delta L = 10 \log_{10} \left(\frac{N_2}{N_1}\right)$$
où $$\Delta L$$ est l'augmentation du niveau sonore, $$N_1$$ est le nombre initial de sources sonores et $$N_2$$ est le nombre final de sources sonores. En utilisant cette formule avec $$N_1 = 3$$ et $$N_2 = 6$$, on obtient:
$$\Delta L = 10 \log_{10} \left(\frac{6}{3}\right) = 3$$
3. Pour atteindre le niveau sonore du piano, il faut que le niveau sonore total des choristes soit égal à 80 dB. En utilisant la formule pour le niveau sonore en fonction de la puissance sonore et de la distance, on peut écrire:
$$L = 10 \log_{10} \left(\frac{P}{P_0}\right) + 20 \log_{10} \left(\frac{d_0}{d}\right)$$
où $$L$$ est le niveau sonore en dB, $$P$$ est la puissance sonore en watts, $$P_0$$ est la puissance de référence (1 picowatt), $$d_0$$ est la distance de référence (1 mètre) et $$d$$ est la distance entre la source sonore et le point de mesure. En supposant que la distance entre les choristes et le point de mesure est la même pour tous les groupes de choristes, on peut écrire:
$$L = 10 \log_{10} \left(\frac{P_c}{P_0}\right) + 20 \log_{10} \left(\frac{d_0}{d}\right) + 10 \log_{10} (N_c)$$
où $$P_c$$ est la puissance sonore émise par chaque choriste et $$N_c$$ est le nombre de choristes. En résolvant cette équation pour $$N_c$$, on obtient:
$$N_c = 10^{\frac{L - 10 \log_{10} \left(\frac{P_c}{P_0}\right) - 20 \log_{10} \left(\frac{d_0}{d}\right)}{10 \log_{10}(2)}}$$
En utilisant les données du problème, on peut calculer que la puissance sonore émise par chaque choriste est de:
$$P_c = P_{tot} / N_c$$
où $$P_{tot}$$ est la puissance sonore totale émise par tous les choristes. En supposant que la puissance sonore totale est proportionnelle au nombre de choristes, on peut écrire:
$$P_{tot} = k N_c$$
où $$k$$ est une constante de proportionnalité. En utilisant les données pour $$N_c = 5$$ et $$L = 80$$ dB, on peut calculer la valeur de $$k$$:
$$80 = 10 \log_{10} \left(\frac{k \cdot 5}{P_0}\right) + 20 \log_{10} \left(\frac{d_0}{d}\right) + 10 \log_{10} (5)$$
$$k = \frac{P_0}{5} \cdot 10^{\frac{80 - 20 \log_{10} \left(\frac{d_0}{d}\right)}{10}}$$
En utilisant cette valeur de $$k$$ et en résolvant l'équation pour $$N_c$$ avec $$L = 80$$ dB, on obtient:
$$N_c = 10^{\frac{80 - 10 \log_{10} \left(\frac{k}{P_0}\right) - 20 \log_{10} \left(\frac{d_0}{d}\right)}{10 \log_{10}(2)}} \approx 63$$
Il faut donc que 63 choristes chantent en même temps pour atteindre le niveau sonore du piano.