Bonjour, excusez moi de vous déranger, pourriez vous m'aider pour cette question svp. Déterminer le sens de variation des suites suivantes en justifiant :
1) La suite (Wn) la suite définie pour tout n appartient N(le N qui veut dire que ce n'est pas égal à 0 je crois) par : Wn = 1/5n+2
2) La suite (Un) définie par un = n² - 4n+8
répondre en détaillant svp
1) La suite (Wn) la suite définie pour tout n appartient N(le N qui veut dire que ce n'est pas égal à 0 je crois) par : Wn = 1/5n+2
2) La suite (Un) définie par un = n² - 4n+8
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Alors il y a 4 méthodes très connues pour répondre à ces questions :
On peut utiliser :
Un= f(n) et étudier les variation de f
Un+1 - Un et étudier le signe du résultat
Un+1/Un et regarder si le rapport est supérieur à 1 ( on pars du principe que Un>0)
On peut aussi le démontrer par récurrence (programme terminal spécialité ) .
Alors dans notre cas je vais utiliser Un+1 - Un pour la première question et pour changer pour la 2 ème je vais utiliser Un=f(n) .
1/ calculons Wn+1 :
Wn+= 1/ 5(n+1) +2
Wn+1= 1/ 5n+7
Calcul de Wn+1 - Wn :
Wn+1 - Wn = 1/(5n+7) - 1/(5n+2)
Wn+1 - Wn = 5n+2 -5n -7 / (5n+7)(5n+2)
Wn+1 - Wn = -5/(5n+7)(5n+2)
Maintenant étudions le signe de chacun des facteur pour tout n€ N :
-5< 0 quelque soit n€N
5n+7 > 0 quelque soit n€ N
5n+2 > 0 quelque soit n€ N
Petite démonstration de pourquoi 5n+7>0 pour tout n€N (a note que € veut dire appartient ):
Tu sais que
Pour tout n€N :
n>= 0
5n>= 0
5n+7 >= 7 qui est par conséquent >0
Voilà donc tu sais que le dénominateur est positif et que le numérateur est négatif, par quotient le tout est négatif :
Donc Wn+1 - Wn <= 0
La suite ( Wn) est donc décroissante .
2/ Posons Un = f(n)
Donc f(x) = x^2 - 4x + 8
Tu connais les variations d’un trinôme du second degré, et tu les étudies sur N :
Normalement si tu étudies ces variations ( c’est à dire que tu calcules les coordonnés du sommet c’est à dire alpha et bêta et que tu regardes le signe de a) tu trouves que f est strictement croissante sur R
Par conséquent vu que f(n) = Un
(Un ) est aussi croissante .
Voilà j’espère que cela t’auras aidé …