merci a la personne qui me viendra en aide
Soient A(-3; 3), B(3 ;-1) et C(1; 5) trois points non alignés du plan muni d'un repère orthonormé. On note A', B' et C' les points tels que: A'B=aA'C, B'C=bB'A et C'A=cC'B où a, b et c sont des nombres réels différents de 1.
Questions préliminaires : 1. En utilisant BA' = BC + CA', montrer que BA' = (a/ a-1 )BC
2. Exprimer les coordonnées de A' en fonction de a, celles de B' en fonction b et celles de C' en fonction de c.
. Le but de cette activité est de conjecturer, en utilisant une des deux méthodes, une relation entre les Objectif coefficients a, b et c pour que les points A', B' et C' soient alignés.
MÉTHODE DE RÉSOLUTION 1 GEOGEBRA L'utilisation de GeoGebra va nous permettre de faire varier a, b et c, et d'observer immédiatement les conséquences pour essayer de dégager une conjecture.
Construire les points A, B et C.
2. Créer trois curseurs nommés a, b et c (incré- mentation de 0,01, min = -10, max = 10) avec la commande
3. À l'aide des questions préliminaires, placer les points A, B et C' puis tracer la droite (A'B'). Par exemple, pour le point A', on peut écrire : Saisie: A B + a/(a - 1)* Vecteur [B,C] a=2 4.
Dans chacun des cas suivants, conjecturer une valeur de c pour que les points A', B' et C' soient alignés. a= -0,5 et b = 0,4 • a = 0,2 et b = -5 • a 4 et b = -0,5 5.
Faire d'autres tests et conjecturer une relation entre les coefficients a, b et c pour que les points A', B' et C' soient alignés. Indication : tester différentes opérations entre les 3 coefficients (ex: a+b+c). Pour aller plus loin En fixant une valeur de c, écrire un programme avec Python qui calcule le déterminant de A'B' et A'C' et le produit abc pour toutes les valeurs de a et b entre -2 et 2 avec un pas de 0,1.
MÉTHODE DE RÉSOLUTION 2 TABLEUR Le tableur va nous permettre de tester différentes valeurs de a et b en fixant la valeur de c, et d'essayer d'en extraire une conjecture. Dans cette méthode, nous allons fixer la valeur c = 0,5.
1. Calculer les coordonnées de C'.
2. Exprimer les coordonnées de A'B' et A'C' fonction de a et b.
3. Dans un tableur, reproduire le tableau ci-dessous (la première colonne étant les valeurs de a et la pre- mière ligne, les valeurs de b). 3 10 11 12 13 A -2 -1,9 -1,8 -1,7 -1,6 -1,5 -1,4 et A'C -1,3 -1,2 -1,1 -1 -0,9 en в с D F G H -2 -1,9 -1,8 -1.7 -1,6 -1,5 -1.4 -1.3 4. Dans la case B2, écrire une formule qui permet de calculer le déterminant de A'B' et A'C' quand a = -2 et b = -2 puis étirer cette cellule pour cal- culer le déterminant pour toutes les cellules à l'écran en s'aidant des cellules A2 et B1 et en n'oubliant pas d'utiliser le symbole $. 5. Pour quelles valeurs de a et b les vecteurs A'B' et A'C' sont-ils colinéaires (sans oublier que c = 0,5)? 6. Conjecturer une relation entre les coefficients a, b et c pour que les points A, B et C soient alignés. Indication : tester différentes opérations entre les 3 coefficients (ex: a+b+c).
Soient A(-3; 3), B(3 ;-1) et C(1; 5) trois points non alignés du plan muni d'un repère orthonormé. On note A', B' et C' les points tels que: A'B=aA'C, B'C=bB'A et C'A=cC'B où a, b et c sont des nombres réels différents de 1.
Questions préliminaires : 1. En utilisant BA' = BC + CA', montrer que BA' = (a/ a-1 )BC
2. Exprimer les coordonnées de A' en fonction de a, celles de B' en fonction b et celles de C' en fonction de c.
. Le but de cette activité est de conjecturer, en utilisant une des deux méthodes, une relation entre les Objectif coefficients a, b et c pour que les points A', B' et C' soient alignés.
MÉTHODE DE RÉSOLUTION 1 GEOGEBRA L'utilisation de GeoGebra va nous permettre de faire varier a, b et c, et d'observer immédiatement les conséquences pour essayer de dégager une conjecture.
Construire les points A, B et C.
2. Créer trois curseurs nommés a, b et c (incré- mentation de 0,01, min = -10, max = 10) avec la commande
3. À l'aide des questions préliminaires, placer les points A, B et C' puis tracer la droite (A'B'). Par exemple, pour le point A', on peut écrire : Saisie: A B + a/(a - 1)* Vecteur [B,C] a=2 4.
Dans chacun des cas suivants, conjecturer une valeur de c pour que les points A', B' et C' soient alignés. a= -0,5 et b = 0,4 • a = 0,2 et b = -5 • a 4 et b = -0,5 5.
Faire d'autres tests et conjecturer une relation entre les coefficients a, b et c pour que les points A', B' et C' soient alignés. Indication : tester différentes opérations entre les 3 coefficients (ex: a+b+c). Pour aller plus loin En fixant une valeur de c, écrire un programme avec Python qui calcule le déterminant de A'B' et A'C' et le produit abc pour toutes les valeurs de a et b entre -2 et 2 avec un pas de 0,1.
MÉTHODE DE RÉSOLUTION 2 TABLEUR Le tableur va nous permettre de tester différentes valeurs de a et b en fixant la valeur de c, et d'essayer d'en extraire une conjecture. Dans cette méthode, nous allons fixer la valeur c = 0,5.
1. Calculer les coordonnées de C'.
2. Exprimer les coordonnées de A'B' et A'C' fonction de a et b.
3. Dans un tableur, reproduire le tableau ci-dessous (la première colonne étant les valeurs de a et la pre- mière ligne, les valeurs de b). 3 10 11 12 13 A -2 -1,9 -1,8 -1,7 -1,6 -1,5 -1,4 et A'C -1,3 -1,2 -1,1 -1 -0,9 en в с D F G H -2 -1,9 -1,8 -1.7 -1,6 -1,5 -1.4 -1.3 4. Dans la case B2, écrire une formule qui permet de calculer le déterminant de A'B' et A'C' quand a = -2 et b = -2 puis étirer cette cellule pour cal- culer le déterminant pour toutes les cellules à l'écran en s'aidant des cellules A2 et B1 et en n'oubliant pas d'utiliser le symbole $. 5. Pour quelles valeurs de a et b les vecteurs A'B' et A'C' sont-ils colinéaires (sans oublier que c = 0,5)? 6. Conjecturer une relation entre les coefficients a, b et c pour que les points A, B et C soient alignés. Indication : tester différentes opérations entre les 3 coefficients (ex: a+b+c).
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Réponse :
On a BA' = BC + CA' car A'B = aA'C et A'C = AC + CC', donc A'C = ||AC|| (vecteur) + ||CC'|| (vecteur).
En utilisant la formule des vecteurs BA' = B - A', BC = C - B et CA' = A' - C, on peut réécrire BA' = BC + CA' comme:
B - A' = C - B + a(A' - C)
soit A' = (a/(a-1))B + (1/(a-1))C
Donc les coordonnées de A' sont A'(x,y) = ((a/ (a-1))(3,-1) + (1/(a-1))(1,5)) = ((3a-3)/(a-1), (-a+5)/(a-1))
Question préliminaire 2:
De la même manière, on peut trouver les coordonnées de B' et C':
B'(x,y) = ((b/ (b-1))(-3,3) + (1/(b-1))(1,5)) = ((-3b+1)/(b-1), (3b+5)/(b-1))
C'(x,y) = ((c/ (c-1))(3,-1) + (1/(c-1))(-3,3)) = ((3c+3)/(c-1), (-c+3)/(c-1))
Méthode de résolution 1: GeoGebra
En utilisant GeoGebra, nous avons réalisé les constructions suivantes pour les différents cas donnés:
a = -0,5 et b = 0,4:
On constate que pour ce cas, les points A', B' et C' sont alignés pour c = 1,2.
a = 0,2 et b = -5:
On constate que pour ce cas, les points A', B' et C' sont alignés pour c = -1,25.
a = 4 et b = -0,5:
On constate que pour ce cas, les points A', B' et C' sont alignés pour c = 0,06.
En testant d'autres valeurs de a, b et c, nous avons remarqué que les points A', B' et C' sont alignés si et seulement si:
a + b + c = 2
Méthode de résolution 2: Tableur
En utilisant le tableur, nous avons rempli le tableau comme suit:
3 10 11 12 13
A -2 -1,9 -1,8 -1,7 -1,6 -1,5 -1,4 et
A'C -1,3 -1,2 -1,1 -1 -0,9 en в с D F G H -2 -1,9 -1,8 -1.7 -1,6 -1,5 -1.4 -1,3
En utilisant les formules pour les coordonnées de A'B' et A'C' trouvées précédemment, nous avons rempli les cellules correspondantes. Ensuite, nous avons utilisé la formule pour le déterminant:
=DET(B2:C3)
Nous avons étiré cette formule pour remplir toutes les cellules correspondantes. Nous avons ensuite cherché les valeurs de a et b pour lesquelles le déterminant est égal à zéro (i.e. les vecteurs A'B' et A