Réponse : Bonjour

Explications étape par étape :

1. Montrer que: a² + b² ≥ 2ab

Pour montrer cette inégalité, nous allons utiliser l'identité remarquable (a - b)² ≥ 0, car le carré d'un nombre réel est toujours positif ou nul.

(a - b)² = a² - 2ab + b² ≥ 0

En réarrangeant les termes, nous obtenons :

a² + b² ≥ 2ab

2. Montrer que: 1/(2a) ≥ 1 - a/2

Il faut d'abord corriger cette inégalité, car elle semble mal écrite. Je pense que vous vouliez dire :

Montrer que: 1/(2a) ≥ (1-a)/2

Nous allons procéder par contradiction. Supposons que 1/(2a) < (1-a)/2. Alors,

2 < a(1 - a)

Or, comme a est un nombre rationnel strictement positif, a appartient à l'intervalle ]0, 1[. En étudiant la fonction f(a) = a(1 - a) sur cet intervalle, on constate que f(a) atteint son maximum en a = 1/2 avec f(1/2) = 1/4. Ainsi, a(1 - a) ≤ 1/4 et notre supposition initiale est fausse, ce qui prouve que :

1/(2a) ≥ (1-a)/2

3. Montrer que: a/b + b/a ≥ 2

Nous allons utiliser l'inégalité de l'exercice 1, en posant x = a/b et y = b/a :

x² + y² ≥ 2xy

En remplaçant x et y par leurs expressions en termes de a et b, nous obtenons :

(a²/b²) + (b²/a²) ≥ 2(ab/b² + ba/a²)

En simplifiant les fractions, nous avons :

(a²/b²) + (b²/a²) ≥ 2(a/b + b/a)

Or, a/b + b/a est la quantité que nous voulons montrer supérieure ou égale à 2. Ainsi,

a/b + b/a ≥ 2

4. En déduire que: ab + bc + ca ≤ a² + b² + c²

Nous allons utiliser l'inégalité de l'exercice 3 trois fois, en changeant les variables :

a) a/b + b/a ≥ 2 ⇒ ab + a² ≥ 2ab

b) b/c + c/b ≥ 2 ⇒ bc + b² ≥ 2bc

c) c/a + a/c ≥ 2 ⇒ ca + c² ≥ 2ca

En additionnant les trois inégalités, nous obtenons :

(ab + a²) + (bc + b²) + (ca + c²) ≥ 2ab + 2bc + 2ca

En réarrangeant les termes, nous avons :

a² + b² + c² ≥ ab + bc + ca