A integral pode ser utilizada para calcular o valor da área compreendida entre o gráfico de uma funç.... Pergunta de ideia degleisonadm21

December 2023 2 74 Report

A integral pode ser utilizada para calcular o valor da área compreendida entre o gráfico de uma função e o eixo x. Sabendo isso, também podemos utilizar integrais para calcular o valor da área compreendida entre duas funções.

Assinale a alternativa que apresenta a área compreendida entre as funções f(x)=x e g(x)=x2 no intervalo [0,1].

a.
1 half

b.
1

c.
1 over 6

d.
0

e.
straight pi

ezequieladriano1

Item: (C) 1/6 unidade de área.

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Veja a figura em anexo:

Achando a área(A) solicitada através da integral definida :

[tex]\large\text{$\sf\:A=\int\limits^1_0 {x} \, dx-\int\limits^1_0 {x^{2}} \, dx\to\:A=\dfrac{x^{2}}{2}|_0^{1}-\dfrac{x^{3}}{3}|_0^{1}\to\:A=\dfrac{1^{2}}{2}-\dfrac{1^{3}}{3}$\sf}[/tex]

[tex]\large\text{$\sf\:\to\boxed{A=\dfrac{1}{6}}$\sf}[/tex]

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Após a realização dos cálculos ✍️, podemos concluir mediante ao conhecimento de área entre curvas que área procurada é A=¹/₆ u. a ✅

Área entre curvas

O teorema fundamental do cálculo nos garante que a integral definida entre os limites de integração x=a e x=b representa a área sob a curva.

matematicamente

[tex]\Large{\boxed{\begin{array}{l}\displaystyle\tt A=\int_a^b f(x)\,dx=\bigg[ g(x)\bigg]_a^b=g(b)-g(a)\end{array}}}[/tex]

Observações importantes:

Se um dos limites for 0 não tem necessidade de substituir na função pois tudo se anula
Quando a curva for simétrica em relação ao eixo y, ao invés de calcular a integral avaliada em x=a e x=b é mais prático calcular o dobro da integral da função de x=0 até x=b.
Se a área a ser calculada tiver entre duas curvas f(x) e g(x) onde f(x) esta limitada superiormente e g(x) limitada inferiormente, então a área é calculada fazendo a integral da diferença entre f(x) e g(x) avaliada em x=a e x=b

✍️Vamos a resolução do exercício

Aqui a área que queremos calcular está limitada superiormente pela função f(x) e inferiormente por g(x). Usando o teorema fundamental do cálculo , vamos avaliar a integral entre os limites de integração x=0 e x=1

[tex]\Large{\boxed{\begin{array}{l}\displaystyle\sf A=\int_0^1( x-x^2)dx\\\\\sf A=\bigg[\dfrac{1}{2}x^2-\dfrac{1}{3}x^3\bigg]_0^1\\\\\sf A=\dfrac{1}{2}\cdot 1^2-\dfrac{1}{3}\cdot 1^3\\\\\sf A=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}\\\\\sf A=\dfrac{3}{6}-\dfrac{2}{6}\\\\\sf A=\dfrac{1}{6}\,u\cdot a\end{array}}}[/tex]

A área está representada no anexo

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