A matriz Q = 2(AT + 2BT) - 2IA , onde A, B e I são matrizes quadradas de ordem 3 e I é uma matriz identidade. Sabe-se que det (B) = 2 e det (A) = 3. Marque a alternativa correta sobre o valor do determinante da matriz Q.
a)48 b)24 c)4 d)192 E)64
Eu quero a explicação.
a)48 b)24 c)4 d)192 E)64
Eu quero a explicação.
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Para resolver esse problema, usaremos algumas propriedades das matrizes e do determinante.
Primeiro, observe que 2AT é o mesmo que 2 * A * transpose(A), onde transpose(A) é a matriz transposta de A.
Da mesma forma, 2BT é o mesmo que 2 * B * transpose(B).
A matriz I é a matriz identidade, então 2I é simplesmente 2 vezes a matriz identidade.
Aqui estão algumas propriedades do determinante que usaremos:
1. det(kA) = k^n * det(A), onde k é um escalar e A é uma matriz de ordem n.
2. det(A^T) = det(A), onde A^T é a transposta de A.
3. det(AB) = det(A) * det(B), onde A e B são matrizes quadradas da mesma ordem.
Agora, vamos calcular o determinante da matriz Q usando as propriedades acima:
det(Q) = det(2(AT + 2BT) - 2I)
= det(2AT + 4BT - 2I) (usando a distributiva)
= det(2AT) * det(4BT) * det(2I) (usando a propriedade 3 acima)
= (2^3 * det(A) * det(transpose(A))) * (4^3 * det(B) * det(transpose(B))) * (2^3 * det(I)) (usando a propriedade 1 acima)
= (8 * 3 * det(A)) * (64 * 2 * det(B)) * (8 * 1) (resolvendo os determinantes)
= 24 * 128 * 8
= 24576.
Portanto, o valor do determinante da matriz Q Para resolver esse problema, usaremos algumas propriedades das matrizes e do determinante.
Primeiro, observe que 2AT é o mesmo que 2 * A * transpose(A), onde transpose(A) é a matriz transposta de A.
Da mesma forma, 2BT é o mesmo que 2 * B * transpose(B).
A matriz I é a matriz identidade, então 2I é simplesmente 2 vezes a matriz identidade.
Aqui estão algumas propriedades do determinante que usaremos:
1. det(kA) = k^n * det(A), onde k é um escalar e A é uma matriz de ordem n.
2. det(A^T) = det(A), onde A^T é a transposta de A.
3. det(AB) = det(A) * det(B), onde A e B são matrizes quadradas da mesma ordem.
Agora, vamos calcular o determinante da matriz Q usando as propriedades acima:
det(Q) = det(2(AT + 2BT) - 2I)
= det(2AT + 4BT - 2I) (usando a distributiva)
= det(2AT) * det(4BT) * det(2I) (usando a propriedade 3 acima)
= (2^3 * det(A) * det(transpose(A))) * (4^3 * det(B) * det(transpose(B))) * (2^3 * det(I)) (usando a propriedade 1 acima)
= (8 * 3 * det(A)) * (64 * 2 * det(B)) * (8 * 1) (resolvendo os determinantes)
= 24 * 128 * 8
= 24576.
Portanto, o valor do determinante da matriz Q é 24576.
Explicação passo-a-passo:
Claro, vamos calcular o determinante da matriz Q passo a passo usando as propriedades mencionadas.
Dada a matriz Q = 2(AT + 2BT) - 2IA, onde A, B e I são matrizes quadradas de ordem 3 e I é uma matriz identidade. Sabemos que det(B) = 2 e det(A) = 3.
Primeiro, vamos realizar as operações dentro da matriz Q:
2AT é o mesmo que 2 * A * transpose(A)
2BT é o mesmo que 2 * B * transpose(B)
A matriz I é a matriz identidade, então 2I é simplesmente 2 vezes a matriz identidade.
Agora, vamos calcular o determinante da matriz Q usando as propriedades do determinante:
det(Q) = det(2(AT + 2BT) - 2I)
= det(2AT + 4BT - 2I) A distributiva
= det(2AT) * det(4BT) * det(2I) A propriedade det(AB) = det(A) * det(B)
= det(2AT) * det(4BT) * det(2I) A propriedade det(kA) = k^n * det(A), onde k é um escalar e A é uma matriz de ordem n
= (2^3 * det(A) * det(transpose(A))) * (4^3 * det(B) * det(transpose(B))) * (2^3 * det(I)) Utilizando as propriedades
= (8 * 3 * det(A)) * (64 * 2 * det(B)) * (8 * 1) Resolvendo os determinantes
= 24 * 128 * 8
= 24576
Portanto, o valor do determinante da matriz Q é 24576.
Dadas as opções fornecidas, nenhuma delas corresponde ao valor encontrado. Assim, algo pode estar errado na formulação do problema ou nas opções fornecidas. Sugiro revisar os dados ou as opções disponíveis.