A rendre pour le lundi 6 mars 2023
Exercice n°1 :
[5 points]
On étudie l'évolution du montant brut horaire du SMIC au 1er janvier de chaque année, à
partir de 2002. On note x, le rang de l'année (2002 + i) où i est un entier naturel. On
obtient les résultats suivants :
Année
Rang de l'année (x₂)
Montant du SMIC
horaire en euros (vi)
2002 2003
0 1
6,67 6,83
2004 2005 2006 2007 2008 2009
2 3 4 5 6 7
7,19 7,61 8,03 8,27 8,44 8,71 8,86
2010
8
i-A
(Source: INSEE)
1. Déterminer le taux d'évolution du montant brut horaire du SMIC entre le 1er janvier
2002 et le 1er janvier 2010 (Résultat sous forme d'un pourcentage arrondi au dixième).
2. a. Tracer le nuage de points dans un repère orthogonal d'unités graphiques :
2 cm pour 1 an sur l'axe des abscisses : 2 cm pour 1 € sur l'axe des ordonnées.
b. Déterminer les coordonnées du point moyen G du nuage (on arrondira son ordonnée au
centième) et le placer dans le repère.
3. a. Déterminer une équation de la droite d'ajustement affine de y en x, par la méthode
des moindres carrés, sous la forme y = ax + b (a et b seront arrondis au centième).
Tracer cette droite dans le repère précédent.
b. Calculer le montant horaire du SMIC prévisible selon ce modèle pour le 1er janvier 2014.
Exercice n°2 :
[8 pointel
Exercice n°1 :
[5 points]
On étudie l'évolution du montant brut horaire du SMIC au 1er janvier de chaque année, à
partir de 2002. On note x, le rang de l'année (2002 + i) où i est un entier naturel. On
obtient les résultats suivants :
Année
Rang de l'année (x₂)
Montant du SMIC
horaire en euros (vi)
2002 2003
0 1
6,67 6,83
2004 2005 2006 2007 2008 2009
2 3 4 5 6 7
7,19 7,61 8,03 8,27 8,44 8,71 8,86
2010
8
i-A
(Source: INSEE)
1. Déterminer le taux d'évolution du montant brut horaire du SMIC entre le 1er janvier
2002 et le 1er janvier 2010 (Résultat sous forme d'un pourcentage arrondi au dixième).
2. a. Tracer le nuage de points dans un repère orthogonal d'unités graphiques :
2 cm pour 1 an sur l'axe des abscisses : 2 cm pour 1 € sur l'axe des ordonnées.
b. Déterminer les coordonnées du point moyen G du nuage (on arrondira son ordonnée au
centième) et le placer dans le repère.
3. a. Déterminer une équation de la droite d'ajustement affine de y en x, par la méthode
des moindres carrés, sous la forme y = ax + b (a et b seront arrondis au centième).
Tracer cette droite dans le repère précédent.
b. Calculer le montant horaire du SMIC prévisible selon ce modèle pour le 1er janvier 2014.
Exercice n°2 :
[8 pointel
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Le taux d'évolution du montant brut horaire du SMIC entre le 1er janvier 2002 et le 1er janvier 2010 est donné par la formule suivante :
taux d'évolution = ((v8 - v0) / v0) x 100
où v0 est le montant du SMIC horaire en euros au 1er janvier 2002 et v8 est le montant du SMIC horaire en euros au 1er janvier 2010.
On a v0 = 6,67 et v8 = 8,86, donc :
taux d'évolution = ((8,86 - 6,67) / 6,67) x 100
taux d'évolution = 33,0 %
Le taux d'évolution est donc de 33,0 %, arrondi au dixième.
a. Voici le nuage de points représentant l'évolution du montant du SMIC horaire en euros :
SMIC graph
b. Pour déterminer les coordonnées du point moyen G, on calcule la moyenne des abscisses et la moyenne des ordonnées :
x̄ = (0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8) / 9 = 4
ȳ = (6,67 + 6,83 + 7,19 + 7,61 + 8,03 + 8,27 + 8,44 + 8,71 + 8,86) / 9 ≈ 7,89
Donc les coordonnées du point moyen G sont (4 ; 7,89). On le place dans le repère :
SMIC graph with G
a. On peut utiliser la méthode des moindres carrés pour déterminer une équation de la droite d'ajustement affine de y en x. Cette méthode consiste à trouver les coefficients a et b qui minimisent la somme des carrés des écarts entre les valeurs observées de y et les valeurs prédites par l'équation de la droite d'ajustement.
On calcule d'abord les moyennes de x et de y, ainsi que les covariances et variances :
x̄ = 4
ȳ = 7,89
cov(x,y) = [(0-4)(6,67-7,89) + (1-4)(6,83-7,89) + ... + (8-4)(8,86-7,89)] / 9 ≈ -0,358
var(x) = [(0-4)² + (1-4)² + ... + (8-4)²] / 9 = 6
var(y) = [(6,67-7,89)² + (6,83-7,89)² + ... + (8,86-7,89)²] / 9 ≈ 0,839
Ensuite, on peut calculer le coefficient a :
a = cov(x,y) / var(x) ≈ -0,060
Et le coefficient b :
b = ȳ - a x̄ ≈ 7,67
Donc l'équation de la droite d'ajustement affine est y = -0,06 x + 7,